2.1.3.3 裂紋尖端張開角
裂紋尖端張開角CTOA（Crack Tip Opening Angle）最早被用來分析核電站管路的穩(wěn)態(tài)裂紋擴(kuò)展，后來用于輸氣管線和航空工業(yè)。如圖2-2，與裂紋張開角COA不同，CTOA對應(yīng)于一定的斷裂擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)，不隨測量點(diǎn)的位置而改變。CTOA在數(shù)學(xué)上可以按下式定義：
式中：δt為裂紋尖端張開位移，△a為裂紋擴(kuò)展長度。
2.1.4 材料的動(dòng)態(tài)斷裂韌性
作為材料抵抗動(dòng)態(tài)斷裂能力的度量，引入韌度的概念，稱為動(dòng)態(tài)斷裂韌性。具體材料的韌性值由規(guī)定條件下的實(shí)驗(yàn)測定。
表征材料抗力的動(dòng)態(tài)斷裂參數(shù)有沖擊斷裂韌性KId，動(dòng)態(tài)能量釋放率臨界值Gd，動(dòng)態(tài)J積分臨界值Jd，裂紋尖端張開角臨界值（CTOA)c，甚至包括直接從實(shí)驗(yàn)機(jī)上獲得的夏比沖擊功和落錘吸收能量等等，均可以作為判斷裂紋擴(kuò)展與止裂的參數(shù)。工程上如何選用要視具體問題與實(shí)驗(yàn)條件而定。
動(dòng)態(tài)韌性參數(shù)除與靜態(tài)斷裂韌性同樣與材料性質(zhì)，環(huán)境溫度，應(yīng)力狀態(tài)等因素有關(guān)以外，同時(shí)還與裂紋速度有關(guān)。這是本文關(guān)心的問題。
裂紋發(fā)生快速運(yùn)動(dòng)時(shí)，一個(gè)高應(yīng)力集中區(qū)被驅(qū)動(dòng)穿過材料，因此裂紋頂端附近的材料產(chǎn)生很高的應(yīng)變速率或加載速率。在一般情形下，高加載速率使得材料變脆，因而抗力降低：另一方面，隨著裂紋速度的提高，由于裂紋頂端應(yīng)力場多軸化程度降低，又增強(qiáng)了塑性效應(yīng)，從而提高了材料的抗力。另外，快速擴(kuò)展引起的熱耗散使得裂紋頂端附近溫度上升，也會(huì)影響材料的抗斷性能。Eftis,Klaft(1965）和Barton,Mall(1960）等的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，動(dòng)態(tài)斷裂韌性由裂紋起始擴(kuò)展的材料抗力開始下降，當(dāng)裂紋速度達(dá)到一定值時(shí)，動(dòng)態(tài)斷裂韌性又隨裂紋速度的增長而提高，表明了前面分析的正確性。
在裂紋穩(wěn)態(tài)擴(kuò)展階段，CTOA達(dá)到臨界值而保持恒定不變，稱作（CTOA）c。(CTOA）c可在小試樣沖擊實(shí)驗(yàn)中測得，并直接應(yīng)用到全尺寸管道的斷裂上。在描述斷裂性能方面，(CTOA）c是衡量延性斷裂擴(kuò)展抗力的指標(biāo)之一，它被認(rèn)為可以替代夏比沖擊韌性，以解決在高韌性管線上依賴后者而出現(xiàn)的重大偏差。
Kanninen等（1992）認(rèn)為，對于動(dòng)態(tài)裂紋擴(kuò)展問題，Gd和（CTOA)c是最適合的斷裂韌性描述參數(shù)，如表2-1。
表2-1斷裂力學(xué)基本處理方法
| 問題類型 |
應(yīng)用范圍 |
裂紋驅(qū)動(dòng)力 |
斷裂韌性 |
| 線彈性 |
小范圍塑性屈服> |
K |
KC |
| 彈塑性 |
大范圍塑性屈服，微小裂紋擴(kuò)展 |
J |
JR |
| 動(dòng)態(tài)非彈性 |
大變形，裂紋快速長距離擴(kuò)展 |
G，CTOA |
Gd,(CTOA)c |
2.1.5 運(yùn)動(dòng)裂紋的止裂判據(jù)
含裂紋結(jié)構(gòu)在動(dòng)載作用下將發(fā)生裂紋的起裂和擴(kuò)展，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)破壞或者發(fā)生止裂，產(chǎn)生這些過程的條件稱為判據(jù)。除了1.2,1節(jié)提到過的減壓波速判據(jù)及在它基礎(chǔ)上發(fā)展起來的雙曲線方法以外，還有應(yīng)力強(qiáng)度因子K判據(jù)，能量釋放率G判據(jù)和裂紋尖端張開角CTOA判據(jù)等。表2-1同樣給出了參考性意見。
在止裂條件的建立上，存在兩種不同的觀點(diǎn)，即動(dòng)態(tài)觀點(diǎn)和靜態(tài)觀點(diǎn)。下面用K判據(jù)為例介紹一下兩種觀點(diǎn)的區(qū)別和發(fā)展，以及本文的選擇。
動(dòng)態(tài)觀點(diǎn)認(rèn)為，裂紋的快速擴(kuò)展直至止裂是一個(gè)完整的過程，止裂是這種過程的結(jié)束，并忽略慣性力的影響。這樣，裂紋持續(xù)快速擴(kuò)展的條件為：
=KID（v，T） （2-12）
即把裂紋動(dòng)態(tài)擴(kuò)展斷裂韌度KID表示成為裂紋速率v和溫度T的函數(shù)。注意這一條件并不適用于起裂時(shí)刻，因?yàn)镵ID(O，T)不等于靜態(tài)韌性KIC（T）。
按照上面的觀點(diǎn)，從止裂發(fā)生的t0時(shí)刻一直到裂紋速度降為零的ta時(shí)刻，均應(yīng)小于擴(kuò)展斷裂韌度KID（v，T）的最小值，止裂判據(jù)表示為：
這樣，通過數(shù)值方法解出特定問題的KI(t)，和材料實(shí)驗(yàn)定出的KID（v，T）相比較，可以得到是否滿足止裂條件的結(jié)論。
靜態(tài)觀點(diǎn)著眼于止裂瞬間的裂紋尖端條件，而不顧及已經(jīng)發(fā)生的裂紋動(dòng)態(tài)擴(kuò)展過程和歷史。這樣，基于靜態(tài)觀點(diǎn)的止裂判據(jù)表示為：
≤KIa （2-14）
式中是對應(yīng)于止裂長度的靜態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子，KIa是材料的靜態(tài)斷裂韌性。
兩種學(xué)術(shù)觀點(diǎn)的爭論長達(dá)二十多年，并都得到了特定條件下實(shí)驗(yàn)結(jié)果的證實(shí)。直至1985年方達(dá)成一致，解釋如下：
引起動(dòng)態(tài)效應(yīng)的主要原因是由于試樣邊界對應(yīng)力波的反射，當(dāng)邊界反射的應(yīng)力波幾乎不返回到裂紋尖端的情況下，采用靜態(tài)觀點(diǎn)相對合適；反之應(yīng)采用動(dòng)態(tài)止裂分析觀點(diǎn)。這一結(jié)論得到了實(shí)驗(yàn)的證明。
壓力管道尤其是高壓輸氣管道上的裂紋擴(kuò)展是強(qiáng)幾何非線性的過程，同時(shí)不斷伴隨應(yīng)力波的傳播與反射，因而本文在分析裂紋擴(kuò)展與止裂時(shí)用了動(dòng)裂紋約束的概念（動(dòng)態(tài)觀點(diǎn)）。根據(jù)這一概念，裂紋止裂就是使裂紋不能連續(xù)擴(kuò)展�，F(xiàn)將本文用到的以G和CTOA建立的動(dòng)態(tài)判據(jù)分述如下：
對于天然氣管道，能量釋放率判據(jù)可以表示為:
G(a,p,D,SDR,E)=Gd(T,v,h) (2-15)
式（2-15）中，當(dāng)Gmax=Gd時(shí)，裂紋擴(kuò)展；若G<Gdmin，裂紋止裂。G表示裂紋驅(qū)動(dòng)力，Gd表示材料的動(dòng)態(tài)斷裂韌性，a為裂紋長度，p為流體壓力，D為管道直徑，SDR(Standard Dimension Ratio）為管道外直徑與壁厚的比值，E為材料的楊氏模量，T為溫度，v為裂紋擴(kuò)展速率，h為試樣壁厚。
為了防止裂紋在工程管道上擴(kuò)展事故的發(fā)生，G和Gd的相對值為實(shí)際應(yīng)用準(zhǔn)則提供了定量的形式。G來源于對結(jié)構(gòu)模型的分析和計(jì)算，而Gd要通過對結(jié)構(gòu)材料的實(shí)驗(yàn)來分析確定。
類似的，在管道延性裂紋擴(kuò)展過程中，表征裂紋驅(qū)動(dòng)力的（CTOA）max與表征管壁斷裂韌性（CTOA）c構(gòu)成止裂判據(jù)：
（CTOA）max（a,p,D,SDR,E）=（CTOA）c（T,v,h） （2-16）
當(dāng)（CTOA）max ≥(CTOA）c時(shí)，裂紋擴(kuò)展；若（CTOA）max＜(CTOA）c，則裂紋止裂。
2.2 斷裂動(dòng)力學(xué)的有限元法
管道裂紋動(dòng)態(tài)擴(kuò)展問題的關(guān)鍵是正確描述管道的實(shí)際工作狀態(tài)。斷裂動(dòng)力學(xué)問題的復(fù)雜性和目前的研究深度決定了分析解法的求解必須對加載形式、材料參數(shù)、裂紋幾何和運(yùn)動(dòng)狀態(tài)作很多限制，因而本文以有限元方法為主，在表征韌性的參數(shù)確定和計(jì)算結(jié)果參照中引入實(shí)驗(yàn)手段，在試件比擬的塑性區(qū)范圍確定等處用到了解析方法。
斷裂動(dòng)力學(xué)中的有限元法分為動(dòng)力學(xué)分析和斷裂分析兩方面。在動(dòng)力學(xué)分析中要考慮材料的慣性效應(yīng)，在動(dòng)態(tài)變化的載荷下求解運(yùn)動(dòng)方程；在斷裂分析方面，要考慮裂紋尖端場的性質(zhì)，以及裂紋擴(kuò)展引起的邊界變化等。下面分別從這兩方面介紹本文計(jì)算中用到的有限元技術(shù)及相關(guān)處理方法。
2.2.1 殼體結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)基本方程
殼體有限元計(jì)算的一般思路是在單元內(nèi)描述問題，再根據(jù)節(jié)點(diǎn)集合。在描述幾何方程和運(yùn)動(dòng)方程之前，首先說明符號(hào)的格式。本節(jié)將用到矢量符號(hào)、矩陣符號(hào)和上下標(biāo)。矢量符號(hào)通過黑體表示，如a，它的分量表示為：ai，也可以以矩陣｛a｝的形式表示。aiI是節(jié)點(diǎn)I的a矢量的第i個(gè)分量。
在本節(jié)中，將會(huì)用到圖2-3所示的三種坐標(biāo)系：
●空間固定的總體坐標(biāo)系（x，y，z），或xi，正交基矢量為
。
●節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)系行（
，
，
），反映節(jié)點(diǎn)的平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)；正交基矢量為bi。
●單元隨體坐標(biāo)系（
，
，
）；正交基矢量為ei。
對于總體坐標(biāo)系中的任意矢量a，其在節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)系中的分量可以表達(dá)為：
其中，bxl，byi，bzl是節(jié)點(diǎn)基矢量bi在總體坐標(biāo)系中的三個(gè)分量。
類似地，對于單元隨體坐標(biāo)系：
其中[b]T、[e]T分別是總體坐標(biāo)與節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)、總體坐標(biāo)與單元隨體坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換矩陣。
節(jié)點(diǎn)J的初始位置為：
（i=1，2，3代表x，y，z三個(gè)方向的分量），當(dāng)發(fā)生了位移uiJ后，新的位置坐標(biāo)為xiJ。
xiJ=+uiJ （2-19）
2.2.1.1 幾何方程
基于Kirchhoff假設(shè)的板殼單元，殼體中某一點(diǎn)的應(yīng)變
，
，
可以由中面應(yīng)變
，
，
和曲率
，
，
來表示：
其中[NP]為殼體面內(nèi)位移形函數(shù)，[Nb]為殼體彎曲位移形函數(shù)。[δP]、[δb]是相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)位移。
將方程（2-22）代入（2-21），得到
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