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第二章  管道穩(wěn)態(tài)裂紋擴(kuò)展模擬

2.1  斷裂動力學(xué)理論簡述

斷裂力學(xué)學(xué)科的先導(dǎo)者是A.A.Griffith，他在1920年首先提出將裂紋臨界擴(kuò)展的判據(jù)與裂紋的長度定量地聯(lián)系在一起，建立起脆斷理論的基本框架。斷裂力學(xué)的蓬勃發(fā)展則以1948年Irwin和Orowan分別獨(dú)立建立的工程材料脆性斷裂理論為標(biāo)志。

作為斷裂力學(xué)的一個(gè)重要分支，斷裂動力學(xué)誕生的標(biāo)志是1948年英國物理學(xué)家N.F.Mott在Griffith理論中考慮動能的影響后所發(fā)表的論文。1951年印度女科學(xué)家Elizabeth Yoffe最早給出了運(yùn)動Griffith裂紋的解析解。然而斷裂動力學(xué)中最重要基本概念的提出，系統(tǒng)分析方法的形成，以及相對成熟的實(shí)驗(yàn)研究方法的建立，是20世紀(jì)80年代以來的研究成果。本文的主旨是用數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)方法解決管道動態(tài)斷裂評估問題。

2.1.1  靜止裂紋與動態(tài)擴(kuò)展

斷裂力學(xué)認(rèn)為在結(jié)構(gòu)中不可避免有類似裂紋的缺陷存在。在小變形、低能量耗散的情況下，可看作脆性斷裂；對于大變形、高能量耗散的情況則按延性斷裂來處理。受應(yīng)力集中影響，除去理想脆性材料外，外加載荷在裂紋尖端附近均伴隨非彈性區(qū)。若該區(qū)域尺寸與其他特征尺寸相比為小量，則可以用線彈性斷裂力學(xué)處理。裂紋根據(jù)加載方式的不同可分為三種模型：張開模式（I型）；滑開模式（Ⅱ型）；撕開模式（Ⅲ型）。本文討論的范圍限于I型裂紋。

在斷裂力學(xué)中，定義引起裂紋產(chǎn)生單位長度的擴(kuò)展所需要的能量為裂紋驅(qū)動力G。在平面問題中，G與應(yīng)力強(qiáng)度因子K_c的關(guān)系可以表達(dá)為：

對于平面應(yīng)力問題，E′=E；對于平面應(yīng)變問題，E′=E/（1-v²）。其中，E是材料的楊氏模量，v為泊松比。

斷裂動力學(xué)（FractUre Dynamics）也叫做動態(tài)斷裂力學(xué)（Dynamic Fracture Mechanics)，其目的是研究那些慣性效應(yīng)不能忽略的斷裂力學(xué)問題。這些問題主要?dú)w納為兩大類：一是裂紋穩(wěn)定而外力隨時(shí)間迅速變化，如振動、沖擊、波動等：二是外力恒定或緩漫變化而裂紋發(fā)生快速傳播。這兩類斷裂動力學(xué)的問題分別稱為裂紋動態(tài)起始問題和運(yùn)動裂紋問題。

運(yùn)動裂紋問題從現(xiàn)象上看可以分為前期加速，擴(kuò)展軌跡，擴(kuò)展速度，分叉和止裂幾方面問題。本文研究裂紋從快速擴(kuò)展開始直至止裂的過程。

2.1.2  裂紋擴(kuò)展的極限速度

輸氣管道上的脆性裂紋擴(kuò)展速度曾經(jīng)達(dá)到過10³m/s的量級。通過改善鋼材韌性，降低韌脆轉(zhuǎn)換溫度等辦法，裂紋擴(kuò)展的主要形式由脆性斷裂轉(zhuǎn)化為延性斷裂，裂紋擴(kuò)展速度也有大幅度的下降。伴隨著超高壓管道上的裂紋擴(kuò)展，近年來的實(shí)測速度又有上升。

對于本文的裂紋動態(tài)模擬和止裂評估，裂紋擴(kuò)展速度是關(guān)鍵變化量。那么裂紋擴(kuò)展存在極限速度嗎？如果存在，如何量化？本小節(jié)旨在探討這方面的內(nèi)容。尤其針對輸氣管道上的應(yīng)用，文中給出了大致的估算。

1948年Mott認(rèn)為快速裂紋擴(kuò)展過程中的動能作用不可忽略。考慮無窮大彈性板中的裂紋擴(kuò)展，加入動能項(xiàng)的能量平衡方程為：

式中a為半個(gè)裂紋長度，U為彈性應(yīng)變能，K為動能，Γ為表面能。

在推導(dǎo)動能表達(dá)式的過程中，Mott引入以下假定:

●圍繞裂紋尖端區(qū)域的應(yīng)力場、位移場，可由靜態(tài)彈性理論確定；

●裂紋擴(kuò)展速度遠(yuǎn)小于柱形桿縱波速度C_o=；

●裂紋擴(kuò)展阻力不隨裂紋速度變化而改變。

在上述假定的前提下，得到無限大彈性板中的動能表達(dá)式:

式中k是待定的比例系數(shù)，p為密度，v為裂紋擴(kuò)展速率，σ為無窮遠(yuǎn)處承受的均勻拉伸應(yīng)力，E為材料的楊氏模量。

對于無限大板中的裂紋而言，應(yīng)變能U和表面能Γ的表達(dá)式同靜態(tài)情況相比沒有形式上的改變。將三種能量的表達(dá)式代入能量平衡方程（2-2)，可得：

將單位面積的表面能γ用表示為臨界裂紋長度a_c的形式，經(jīng)過Berry等人的修正，得到裂紋速度的表達(dá)式:

Roberts(1954）用數(shù)值方法計(jì)算了泊松比v=0.25時(shí)的系數(shù)＝0.38,從而得到鋼材中的極限裂速v_m≈1929m/s。

在雙懸臂梁DCB(double-Cantilever-Beam）試樣中測到的結(jié)果比上述值略低，約為1500m/s。

Freund(1972）通過分析推導(dǎo)，認(rèn)為裂紋的極限裂速v_m，應(yīng)該等于Rayleigh波速C_R。按此方法估算，v=0.25時(shí)鋼材中的極限裂速v_m=294m/s。

根據(jù)Rice(2000）通過奇異裂紋模型做出的最新論斷，在典型的遠(yuǎn)場加載條件下，在I型和Ⅱ型時(shí)的極限速度為Rayleigh波速，而在Ⅲ型時(shí)的極限速度可達(dá)橫波波速，對鋼材而言約3100m/s。

Rice總結(jié)了I型拉伸裂紋的實(shí)驗(yàn)觀測結(jié)果，發(fā)現(xiàn):

●在脆性非晶態(tài)材料（如玻璃、PMMA）中，裂紋速度的上限為0.55C_R～0.65C_R;

●裂紋速度v<0.3C_R～0.4C_R時(shí)，斷裂面呈鏡面光滑狀。在更高（平均）速度時(shí)，裂紋表面變得非常粗糙，并且v開始劇烈振蕩；

●存在v接近于CR的例外情況，如高度各向異性的脆性單晶（鎢、云母）,及不完全燒結(jié)的固體。

這一結(jié)果同鋼材斷裂從DBF到DDF的發(fā)展過程中，實(shí)測速度與斷口形貌的變化趨勢相吻合。簡單的說，就是韌性提高可以導(dǎo)致斷裂的極限速度降低。

壓力管道的裂紋擴(kuò)展與無限大彈性板不同，Kanninen等（1980）利用類似一維梁的模型提出了輸氣管道中的裂紋擴(kuò)展極限速度的估算值。模型中采用彈性基礎(chǔ)梁的撓度模擬在對稱載荷作用下圓柱殼的變形，并作了以下基本假設(shè)：

●以徑向變形為主；

●壓力沿圓周的變化可以忽略不計(jì)；

●裂紋張開位移等于在裂紋區(qū)任何截面徑向位移沿圓周的積分；

●塑性屈服鉸在裂尖后部形成；

●裂紋擴(kuò)展速度超過流體降壓速度，擴(kuò)展中裂尖后面的壓力為零；

●由于裂紋出現(xiàn)導(dǎo)致殼體剛度突變。

得到管道裂紋的極限速度：

式中C₀為柱形桿縱波波速，鋼材約5076m/s,h和R為管道壁厚和平均半徑。按此式估算的西氣東輸管道上裂紋擴(kuò)展的極限速度約為648m/s。

對于裂紋在脆性管道中的快速擴(kuò)展，在全尺寸實(shí)驗(yàn)中可觀察到的裂速范圍為600～1000m/s，考慮到不同的設(shè)計(jì)參數(shù)，與上述預(yù)測比較接近；全尺寸實(shí)驗(yàn)在近年來應(yīng)用的高韌性管線中觀測到的裂紋穩(wěn)態(tài)擴(kuò)展速度一般在150～350m/s,近似可以看作脆性斷裂速度的1/3，即：

在Kanninen之后，Emery（1950）提出，盡管裂紋的起裂和小范圍擴(kuò)展可由系統(tǒng)的降壓值作為上限而加以估算，但開裂管道中的裂紋擴(kuò)展卻受到流體外流引起的壓力降低的強(qiáng)烈影響。在幾何尺寸一定的條件下，由管道斷裂引起的壓力釋放波可以由遠(yuǎn)端反射回來，從而增加了裂尖處的管道壓力：同時(shí)張開裂紋的自由邊，卻承受一個(gè)顯著減少的壓力，致使裂紋擴(kuò)展減速。因此，為了解裂紋的動力學(xué)特征，必須考慮管道變形及流體壓力。

在Emery的圓柱殼模型下，極限裂紋擴(kuò)展速度比（2-6）式略低。

2.1.3  動態(tài)斷裂力學(xué)參數(shù)

斷裂動力學(xué)理論為結(jié)構(gòu)動態(tài)斷裂的分析與控制奠定了理論基礎(chǔ)，并為其在工程應(yīng)用方面提供了重要的概念、分析方法、結(jié)構(gòu)參數(shù)計(jì)算和動態(tài)斷裂準(zhǔn)則�；�本概念可以歸納為三個(gè)方面：描述動態(tài)斷裂的特征參數(shù)、材料的動態(tài)斷裂韌性和運(yùn)動裂紋的止裂判據(jù)。接下來對上述三方面問題，尤其是對于和管道問題相關(guān)的概念，加以闡述和介紹，以備后文直接引用。

本節(jié)的討論范圍限于I型裂紋快速擴(kuò)展問題，主要目的是給出與斷裂力學(xué)參數(shù)相應(yīng)的動態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子、動態(tài)能量釋放率和裂紋尖端張開角的表達(dá)式。

2.1.3.1  動態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子

I型動態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子(t）的定義為：

式中t為時(shí)間，a_yy為y向正應(yīng)力分量。

自Yoffe（1951)開始，包括Rice(1968)、Freund(1990)在內(nèi)的很多學(xué)者推導(dǎo)并不斷完善了無限大板等簡單模型的以(t）表示的穩(wěn)態(tài)擴(kuò)展的裂紋頂端漸進(jìn)應(yīng)力場和位移場的解析解，Nishioka等（1996）進(jìn)而給出了包括瞬態(tài)情況下的四階漸進(jìn)展開式，在此不做贅述。

這樣只要得到(t）的值，就可以按照上述文獻(xiàn)中的公式得到裂紋尖端場的解析解。目前除對于無限介質(zhì)中的穩(wěn)態(tài)擴(kuò)展裂紋，通過適當(dāng)簡化可以得到應(yīng)力強(qiáng)度因子的解析表達(dá)式以外，有限介質(zhì)及構(gòu)件中運(yùn)動裂紋的動態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算主要依靠數(shù)值方法，包括有限元法和有限差分法。

本文研究的高韌性鋼為彈塑性材料，在裂紋擴(kuò)展前，往往在裂端區(qū)甚至更大范圍內(nèi)有相當(dāng)大的塑性變形，且伴隨著裂端后面的卸載。因此，起裂后必須克服塑性變形才能發(fā)生裂紋擴(kuò)展。此時(shí)，作為衡量裂端區(qū)應(yīng)力場強(qiáng)度的力學(xué)參量J積分和應(yīng)力強(qiáng)度因子K并不是嚴(yán)格有效的。Kanninen提出了更先進(jìn)的J積分-T積分，適合應(yīng)用于在彈塑性材料中的動態(tài)裂紋擴(kuò)展分析。

2.1.3.2  動態(tài)能量釋放率

對含運(yùn)動裂紋的一般彈性體，為確定釋放到裂尖的能量，考慮圍繞裂尖非常小的閉合回路Γ，如圖2-1所示，動態(tài)能量釋放率可以由能量流動定義為：

式中v_n表示裂紋尖端運(yùn)動速度在回路Γ上的法向分量，v為裂尖速率，T_i為作用于Γ上的應(yīng)力分量，W為應(yīng)變能密度，p為物質(zhì)密度。

這里Γ的形狀是任意的，但必須附著于裂尖的運(yùn)動坐標(biāo)系。這個(gè)表達(dá)式對線性與非線性的材料均適用。

在裂紋穩(wěn)態(tài)擴(kuò)展的條件下， （t）退化為斷裂力學(xué)中的動態(tài)J積分，是與路徑無關(guān)的量：

對于無限介質(zhì)而言，（t）和（t）都可以寫成與裂紋速度有關(guān)的函數(shù)與靜態(tài)因子乘積的形式：

（t）=k（v）K（0）               （t）=g（v）G（0）     （2-9）

將用動態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子表示的無限大平面彈性體應(yīng)力場和位移場的表達(dá)式代入動態(tài)能量釋放率的定義式，可得二者之間的對應(yīng)關(guān)系：

式中F（v）可以表示為裂尖速率v與材料平面縱波波速C₁及平面橫波波速C₂的函數(shù)，E是材料的楊氏模量，v為泊松比。

(2-10)式意味著（t）和（t）同時(shí)達(dá)到臨界值。也就是說，動態(tài)擴(kuò)展斷裂判據(jù)既可用臨界應(yīng)力強(qiáng)度因子，也可用臨界能量釋放率來表示。這是對線彈性材料、恒定裂速擴(kuò)展的裂紋在無限大彈性體中得出的結(jié)論，可以定性地推廣到一般問題中使用。

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