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2.2.1.2  運(yùn)動(dòng)方程

對(duì)于慣性力不可忽略的結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，要求解運(yùn)動(dòng)方程，以獲得系統(tǒng)在瞬時(shí)狀態(tài)下的位移和速度、加速度。一般的方法是按照平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)的自由度，分別給出運(yùn)動(dòng)方程。在有限元中，對(duì)于離散化的節(jié)點(diǎn)，要相應(yīng)地給出它的三個(gè)平動(dòng)方程和三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)方程。

三個(gè)平動(dòng)方程為：

其中i代表節(jié)點(diǎn)號(hào)，m_i為節(jié)點(diǎn)質(zhì)量，，，為平動(dòng)加速度，為外力，為變形引起的內(nèi)力（其中j=1，2，3，分別表示三個(gè)坐標(biāo)軸方向x，y，z）。

三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)方程為：

其中I_ij為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，，分別為角速度和角加速度，為外力矩，為變形引起的內(nèi)力矩。

公式（2-24），（2-25）中的內(nèi)力分量和可以如下求得：

首先根據(jù)虛功原理，在一個(gè)單元E內(nèi)，對(duì)節(jié)點(diǎn)i有：

其中對(duì)i不求和；j代表各方向，對(duì)j求和。為單元E的應(yīng)變率，V是單元體積。

由上述方程可以得到節(jié)點(diǎn)內(nèi)力和節(jié)點(diǎn)內(nèi)彎矩：

利用疊加原理，將每一個(gè)單元內(nèi)的節(jié)點(diǎn)上的內(nèi)力和內(nèi)彎矩分別求和，可得到節(jié)點(diǎn)上的相應(yīng)分量：

其中，是如下定義的相關(guān)系靈敏：

=1      當(dāng)單元E中的節(jié)點(diǎn)A與節(jié)點(diǎn)i相關(guān)；

=0      當(dāng)單元E中的節(jié)點(diǎn)A與節(jié)點(diǎn)i無關(guān)。

將方程（2-28）代入方程（2-24）和（2-25），可得到各節(jié)點(diǎn)的加速度與角加速度：

對(duì)于每一時(shí)間步長(zhǎng)，由運(yùn)動(dòng)方程首先解出各節(jié)點(diǎn)的平動(dòng)加速度，然后根據(jù)顯式中心差分公式解出各節(jié)點(diǎn)速度：

利用位移可以根據(jù)幾何方程和本構(gòu)方程求得應(yīng)變和應(yīng)力。

2.2.1.3  本構(gòu)方程

本文研究鋼制管道的裂紋擴(kuò)展。忽略軋制過程的影響，鋼材可看作各向同性材料，則本構(gòu)關(guān)系可以寫成分段線性彈性的形式。進(jìn)一步考慮到本文采用節(jié)點(diǎn)力釋放法進(jìn)行裂紋擴(kuò)展計(jì)算，裂尖附近的應(yīng)力集中影響不大，故可采用線彈性本構(gòu)關(guān)系計(jì)算。

對(duì)于板殼單元，在單元隨體坐標(biāo)下應(yīng)變和應(yīng)力均只有三個(gè)分量：

2.2.1.4  局部坐標(biāo)下的邊界條件

一般地，可以在邊界處約束任意平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)分量，即令其為零。如要定義的運(yùn)動(dòng)分量不在總體坐標(biāo)系下，則需在該節(jié)點(diǎn)定義局部坐標(biāo)（X，Y，Z）。計(jì)算上可以通過定義X和Y坐標(biāo)的方向余弦c_xX，c_yX，c_zX，c_xY，c_yY，c_zY來實(shí)現(xiàn)。Z坐標(biāo)的方向余弦可通過其正交性由下式求得：

將上面的轉(zhuǎn)換矩陣定義為[c]，則邊界條件中的平動(dòng)速度可按（2-36）式轉(zhuǎn)化為局部坐標(biāo)中的分量，轉(zhuǎn)動(dòng)角速度按下式定義：

然后將被約束的分量置零，求解。求解后的平動(dòng)速度和轉(zhuǎn)動(dòng)速度可分別通過（2-36）和（2-37）的逆變換轉(zhuǎn)化成總體坐標(biāo)中的分量。因?yàn)樾碌慕俏灰屏繌姆匠?2-31）和關(guān)于b₁的方程直接解得，邊界條件通常反映在更新的位移和節(jié)點(diǎn)向量b₁中。

2.2.2  斷裂動(dòng)力學(xué)基本方程

2.2.2.1  生成模式與擴(kuò)展模式

在管道裂紋擴(kuò)展問題中，因動(dòng)態(tài)斷裂發(fā)生的時(shí)間很短，以及裂紋擴(kuò)展速度的非預(yù)先確定性，使得測(cè)量高階的物理量如能量分布、瞬時(shí)動(dòng)態(tài)能量釋放率和動(dòng)態(tài)裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng)變得十分困難。為此針對(duì)管道快速斷裂問題發(fā)展了兩種分析計(jì)算模式：生成模式（Generation mode）和擴(kuò)展模式（Propagation mode）。

生成模式就是給定管道的幾何尺寸和工作條件，同時(shí)必須給出已知的以裂紋擴(kuò)展長(zhǎng)度或者裂紋速度表示的裂紋擴(kuò)展歷史作為補(bǔ)充條件使得問題可解，從而計(jì)算裂紋驅(qū)動(dòng)力G（或CTOA和評(píng)估斷裂韌度Gd（或（CTOA）c）。

本章計(jì)算中的裂紋擴(kuò)展速度取為定值，該值未必是裂紋穩(wěn)態(tài)擴(kuò)展的真實(shí)速度。然而通過指定不同的速度值，可以尋找對(duì)應(yīng)于某一特定穩(wěn)態(tài)裂紋擴(kuò)展速度的G或CTOA，如果該值小于材料韌性，可以判斷發(fā)生止裂；否則可能發(fā)生擴(kuò)展。從而得到一些有價(jià)值的結(jié)論，例如在什么速度下管道失穩(wěn)斷裂等等。這種分析方法是運(yùn)用了生成模式。

擴(kuò)展模式是通過實(shí)驗(yàn)測(cè)量裂紋速度和壓力分布，分析G_d（或（CTOA）），找到它與裂紋速度之間的關(guān)系，分析確定產(chǎn)生裂紋擴(kuò)展需要的驅(qū)動(dòng)力，從而得到一定條件下是否止裂的結(jié)論。包括第一章提到的雙曲線法和后面提到的韌性減速機(jī)理等以實(shí)驗(yàn)和結(jié)合實(shí)驗(yàn)的計(jì)算為主的分析方法，就是采用了擴(kuò)展模式。

2.2.2.2  節(jié)點(diǎn)力釋放技術(shù)

節(jié)點(diǎn)力釋放（Node Foroe Release)，顧名思義就是當(dāng)裂紋頂端通過有限元網(wǎng)格中的某節(jié)點(diǎn)時(shí)，便解除該節(jié)點(diǎn)在網(wǎng)格中本來起到的連接作用，即將其分為兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，并釋放連接力，如圖2-4。

在典型的生成模式計(jì)算中，可根據(jù)指定的a(t）或v(t）判斷裂紋經(jīng)過的時(shí)間和路線，依次釋放節(jié)點(diǎn)力；另一種運(yùn)用擴(kuò)展模式的方法是通過判斷裂紋頂端被約束的節(jié)點(diǎn)力達(dá)到F_c時(shí)，這個(gè)節(jié)點(diǎn)便被松弛。這里的F_c是指定的，它與網(wǎng)格尺寸以及動(dòng)態(tài)斷裂韌性K_ID有關(guān)。Keergstra(1976）證明，對(duì)于給定的網(wǎng)格，裂紋頂端的節(jié)點(diǎn)力正比于應(yīng)力強(qiáng)度因子K_ID。

早期將有限元法應(yīng)用于動(dòng)態(tài)裂紋擴(kuò)展時(shí)，裂尖運(yùn)動(dòng)由不連續(xù)的突進(jìn)進(jìn)行模擬：在時(shí)間增量△t內(nèi)，裂尖沿裂紋方向從單元的一個(gè)節(jié)點(diǎn)改變到下一個(gè)節(jié)點(diǎn)。為了得到比較精確的解答，必須采用較小的時(shí)間步長(zhǎng)△t，通常為膨脹波在兩個(gè)最近單元節(jié)點(diǎn)間傳播所需要的時(shí)間。由于裂紋傳播速度通常明顯低于波速，在時(shí)間△t內(nèi)裂尖實(shí)際上通常只能運(yùn)動(dòng)到兩個(gè)相鄰節(jié)點(diǎn)之間的某一位置。在裂尖從一個(gè)節(jié)點(diǎn)移動(dòng)到下一個(gè)節(jié)點(diǎn)的過程中，裂紋長(zhǎng)度的突然增加和位移約束的突然解除，將引起有限元求解中比較嚴(yán)重的高頻振蕩現(xiàn)象。為了克服這一困難，產(chǎn)生了“回復(fù)力”法，Lagrange乘子法，節(jié)點(diǎn)力釋放率法等緩步釋放節(jié)點(diǎn)的方法,下面介紹本文采用的節(jié)點(diǎn)力釋放率法。

在生成模式中，輸入信息包括作為時(shí)間函數(shù)的裂紋尖端位置，每一時(shí)間步長(zhǎng)中裂紋前進(jìn)的距離是已知的。裂紋沿著單元擴(kuò)展的過程中單元節(jié)點(diǎn)力逐步釋放，此時(shí)，能量釋放率G，即在裂端區(qū)每單位面積上裂紋擴(kuò)展所引起的能量變化，可以近似地以節(jié)點(diǎn)力作功的形式表示:

式中，h是管壁厚度，是沿裂紋擴(kuò)展方向的一個(gè)單元長(zhǎng)度，△t是裂紋擴(kuò)展一個(gè)單元所用的時(shí)間，v_n是垂直裂紋擴(kuò)展方向的節(jié)點(diǎn)位移速度，系數(shù)2表示管道對(duì)稱計(jì)算的兩個(gè)部分。

在公式（2-38）中，F(xiàn)是被釋放的約束力，它的大小隨著裂紋在單元邊界上的位置呈線性變化，表示為：

式中的F_o是被釋放的節(jié)點(diǎn)約束力，a（t）是裂紋在單元上的擴(kuò)展長(zhǎng)度。指數(shù)c曾取過1/2、1、3/2、2等不同取值。本文在與實(shí)驗(yàn)對(duì)比的基礎(chǔ)上取1。

2.2.2.3  裂紋驅(qū)動(dòng)力G的能量表達(dá)

能量平衡方法計(jì)算裂紋驅(qū)動(dòng)力基于Griffiths斷裂理論。在本章的計(jì)算程序中，外力作功和內(nèi)部能量的平衡常被用來校核計(jì)算結(jié)果的數(shù)值穩(wěn)定性，也可將算得的能量值帶入Irwin-Orowan能量平衡公式計(jì)算裂紋驅(qū)動(dòng)力。該方法與節(jié)點(diǎn)力釋放法更為簡(jiǎn)便。

Griffiths奠定了斷裂問題的能量平衡理論。在裂紋擴(kuò)展過程中，物體內(nèi)部能量釋放所產(chǎn)生的裂紋驅(qū)動(dòng)力導(dǎo)致了裂紋增長(zhǎng)，同時(shí)存在阻止形成新裂紋面積的阻力，當(dāng)裂紋增長(zhǎng)da長(zhǎng)度時(shí)，二者形成平衡。這樣裂紋驅(qū)動(dòng)力G可以表示為：

式中h表示裂尖處材料厚度，W表示外力作用于裂紋體的功，U表示應(yīng)變能。

在動(dòng)裂紋擴(kuò)展問題中需要考慮動(dòng)能K的作用，上式擴(kuò)展為：

早期對(duì)流體壓力管道裂紋擴(kuò)展問題的分析中曾應(yīng)用應(yīng)變能變分原理，將裂紋動(dòng)力等效為裂紋前面環(huán)向應(yīng)變能的釋放率，Iewin-Conten發(fā)展了裂紋驅(qū)動(dòng)力的解析計(jì)算：

式中p₀為初始內(nèi)壓，D₀和h為管壁外徑和壁厚，E為材料的楊氏模量。

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