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同理，橫向彎曲的曲率半徑為
同薄板純彎曲理論可知，當(dāng)應(yīng)力不超過極限時(shí)，材料的泊松比為橫向應(yīng)變與軸向應(yīng)變之比
將（3-23），（3-24）代入（3-32）可得
（圖3.8）設(shè)待測試件的厚度為h.則
由于ρ1＞＞h/2,ρ2＞＞h/2,所以有：
經(jīng)過試驗(yàn)和對考國內(nèi)外相關(guān)文獻(xiàn)，泊松比υ定為0.4997。
3.7剪切模量和彈性模量的確定
橡膠材料的切變模量G與材料的牌號和組成成分幾乎無關(guān)，而與橡膠的硬度有關(guān)，一般可由以下公式計(jì)算：
式中HS——邵氏硬度
e——自然對數(shù)的底
該課題所研究的彈性聯(lián)軸器的橡膠元件的硬度為70，根據(jù)式（3-37），剪切模量G=425Mpa。
橡膠材料在拉伸和壓縮的作用下，載荷與變形間關(guān)系為非線性，但當(dāng)應(yīng)變在±0.15范圍內(nèi)，可將應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系近似表示為：σ=Eε。別外由材料力學(xué)我們可知，彈性模量E和切變模量G之間的關(guān)系為：
聯(lián)軸器各參數(shù)如下表3-1所示
表3.1 聯(lián)軸器參數(shù)
| 剪切模量GMpa |
彈性模量EMpa |
動剛度k |
阻尼比η |
泊松比γ |
| 425 |
1274.7 |
1.4 |
0.2 |
0.4997 |
3.8 固有頻率的計(jì)算
阻尼的存在主要影響軸系發(fā)生扭振時(shí)各聯(lián)軸節(jié)的扭矩變化曲線和扭振振幅衰減過程，對軸系的疲勞壽命消耗起著重要的作用，但對固有頻率及振型的確定影響不大。國外有學(xué)者對無阻尼及考慮阻尼兩種情況下的大機(jī)組軸系扭振特性進(jìn)行了計(jì)算與實(shí)測對比，發(fā)現(xiàn)二者之間的差異很小，因此在進(jìn)行扭振特性的振動頻率理論分析和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證中可以不記入阻尼的影響。
首先進(jìn)行等效處理，將聯(lián)軸器兩端鐵圈的轉(zhuǎn)動慣量等效均布到中間橡膠元件的軸上。等效的原則是轉(zhuǎn)化前后系統(tǒng)總的轉(zhuǎn)動慣量不變。圖3.11中b的虛線表示等效后的均布載荷。
假定等效后b的斷面在扭轉(zhuǎn)過程中保持為平面，斷面原來任一半徑仍保持為直線。
由兩個(gè)相鄰正截面在軸上取微元dx，如圖3.12 ，記θ(x,t）表示在t時(shí)刻在位置x處截面扭轉(zhuǎn)角。則作用在微元dx的面mm上的扭矩為
在面nn上的扭矩為:
式（3-39),(3-40）中，G—材料的剪切模量
JP—軸斷面的極慣性
K—動倍率
微元dx的轉(zhuǎn)動角加速度為：
此時(shí)系統(tǒng)單位長度上的轉(zhuǎn)動慣量為：
式中ρ—材料的密度kg/m3
I1——大鐵圈轉(zhuǎn)動慣量N·m·s2
I1——小鐵圈轉(zhuǎn)動慣量N·m·s2
l——橡膠軸的長度m
聯(lián)微元dx.由牛頓力學(xué)定律得微元段轉(zhuǎn)動微分方程式
令 代入式（3-43）并整理上式，有：
此微分方程解的形式必為：
將式（3-45）代入式（3-44）,得解：
式中A，B和C，D——積分常數(shù)，可以通過邊界條件加以確定，對于兩端自由的軸，端面扭矩為零，
ωn——固有頻率
橡膠圓軸兩端邊界條件為：
聯(lián)軸器橡膠圓軸件長度為55mm、大的鐵圈外徑為362mm，內(nèi)徑265mm，小的鐵圈外徑322mm，內(nèi)徑190mm，內(nèi)部橡膠件外徑298mm，內(nèi)徑265mm。固有頻率計(jì)算結(jié)果分別如下3-2所示：
表3.2固有頻率
| 一階頻率hz |
二階頻率hz |
三階頻率hz |
四階頻率hz |
| 45.17 |
90.34 |
135.51 |
180.68 |
3.9扭轉(zhuǎn)振動動力特性計(jì)算
假設(shè)主動端有穩(wěn)定轉(zhuǎn)矩T0和擾動轉(zhuǎn)矩Td2sinωt，設(shè)穩(wěn)定轉(zhuǎn)矩產(chǎn)生的轉(zhuǎn)角為φ1，擾動轉(zhuǎn)矩產(chǎn)生的轉(zhuǎn)角為φ2，則主動端和從動端的相對轉(zhuǎn)角φ0為穩(wěn)定扭矩和擾動扭矩產(chǎn)生的轉(zhuǎn)角之各，即有：
由材料為學(xué)可知：
式中L——聯(lián)軸器長度m
G——聯(lián)軸器材料的剪切模量，mpa
IP——截面極慣性矩m4
D——套筒的外徑m
d——套筒的內(nèi)徑m
現(xiàn)單獨(dú)考慮擾動轉(zhuǎn)矩產(chǎn)生的相對轉(zhuǎn)角φ2，目前國內(nèi)建立了圖3.13所示力學(xué)模型[2]，出于橡膠件相對于兩側(cè)的鐵圈剛性很小，現(xiàn)假設(shè)：（1）只有聯(lián)軸器兩側(cè)的鐵圈具有剛性，只有橡膠具有彈性和阻尼；（2）聯(lián)軸器主動側(cè)作用有按簡諧規(guī)律變化的擾動轉(zhuǎn)矩分量Tdlsinωt此時(shí)按照動量矩定理，按聯(lián)軸器兩側(cè)力矩平衡條件，可以分別列出兩個(gè)圓盤的轉(zhuǎn)動運(yùn)動方程式，即系統(tǒng)振動的微分方程是：
式中φ1——主動圓盤的轉(zhuǎn)角rad
φ2——從動圓盤的轉(zhuǎn)角rad
φ——兩圓盤的相對轉(zhuǎn)角rad
I1，I2——主，從動盤的等效轉(zhuǎn)動慣量N·m·s2
C——聯(lián)軸器剛度N·m/rad
r——聯(lián)軸器粘滯阻尼系數(shù)N·m·s/rad
1—主動盤；2—聯(lián)軸器；3—從動盤
方程（3-57）特征方程為：
方程（3-58）的解的形式取決于 的值，當(dāng) 時(shí)，（3-58）有兩個(gè)相同的實(shí)根，此時(shí) ，稱為臨界陰阻尼系數(shù)。
當(dāng)ε＜1時(shí)，（3-58）有共扼復(fù)根，稱為欠阻尼情況，方程（3-57）的解為：
得到了聯(lián)軸器主動端和從動端的相對轉(zhuǎn)角后，就可以得到聯(lián)軸器內(nèi)部由于發(fā)生扭轉(zhuǎn)產(chǎn)生的應(yīng)力大小。
當(dāng)材料力學(xué)可知：扭轉(zhuǎn)產(chǎn)生剪應(yīng)力τ
式中G——材料的剪切模量mpa
γ——剪應(yīng)變r(jià)ad
φ——相對扭轉(zhuǎn)角rad
r——該處的半徑m
l——聯(lián)軸器的長度m
當(dāng)聯(lián)軸器同時(shí)受到穩(wěn)定轉(zhuǎn)矩和擾動轉(zhuǎn)矩時(shí)，產(chǎn)生的剪應(yīng)力則為
將式（3-68），（3-69），（3-70）分別代入（3-73）可得：
比較式（3-74），（3-75），（3-76）可知，由于 ，所以當(dāng)阻尼系數(shù)等于臨界阻尼系數(shù)時(shí)，產(chǎn)生的剪切應(yīng)力最小，此時(shí) 。由于對于一定的材料制作的聯(lián)軸器，因?yàn)椴牧系淖枘崽匦允且欢ǖ模虼嗽谝院舐?lián)軸器的設(shè)計(jì)過程中，可以通過控制兩端的轉(zhuǎn)動慣量，或者通過改變聯(lián)軸器本身的尺寸來控制它的扭轉(zhuǎn)剛度，力求使 的值盡可能的接近阻尼系數(shù)，從而減少產(chǎn)生的剪切力，提高聯(lián)軸器的工作狀態(tài)和延長聯(lián)軸器的使用壽命。
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