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第3 章扭振的理論計算
3.1 振動的概念
所謂振動，就是物體或某種狀態(tài)隨著時間往復(fù)變化的現(xiàn)象。這類現(xiàn)象有的是由于其本身的特性等固有的原因引起的，有的是外界干擾引起的，比如溫度，沖擊等。在自然界中廣泛存在著聲、光、電磁波等廣義的振動現(xiàn)象。在工程界，地面上的汽車、火車、拖拉機(jī)；地下的鐵道：天空中的飛機(jī)、宇宙飛船；海洋里的艦船、海洋平臺等普遍存在著機(jī)械振動。在生物界，心臟的跳動，肺的呼吸，肌肉的顫動，腦電波的脈動等等在某種意義上來說，都是一種振動．振動是自然界最普遍的現(xiàn)象之一。
發(fā)生振動的機(jī)器或結(jié)構(gòu)物等都稱為振動系統(tǒng)。實(shí)際振動系統(tǒng)往往是很復(fù)雜的，因此在開始研究問題時，總要把研究對象以及外界對它的作用簡化為一個理想的力學(xué)模型、這個力學(xué)模型往往由質(zhì)量塊、彈性件和阻尼件組成。質(zhì)量意味著存在慣性，即系統(tǒng)經(jīng)過平衡位置時停不下來還要繼續(xù)往前運(yùn)動：彈性則意味著質(zhì)量塊要被拉回到平衡位置上。彈性和慣性結(jié)合在一起就會發(fā)生振動。阻尼元件則使振動受到一定程度的抑制。由此可見，質(zhì)量塊、彈性元件和阻尼元件等是振動系統(tǒng)中的主要元件，它們不同的組合而構(gòu)成的理想模型可以代替各種實(shí)際研究時象。有了這樣力學(xué)模型，對干理論計算或模擬試驗(yàn)都帶來了方便。
3.2 扭轉(zhuǎn)振動的機(jī)理
引起彈性聯(lián)軸器扭轉(zhuǎn)振動的原因主要?dú)w結(jié)于兩個方面：即由柴油機(jī)引起的機(jī)械擾動和由發(fā)電機(jī)引起的電氣擾動。
3.2.1 柴油機(jī)引起的機(jī)械擾動
柴油機(jī)本身在運(yùn)行過程中，由于軸系本身不僅具有慣性而且還具有彈性，加上作用在軸系上的周期性的干擾力矩的作用，使軸段產(chǎn)生周向交變及相應(yīng)的變形，從而使軸系具有扭振的特性。干擾力矩包括柴油機(jī)工作時汽缸內(nèi)氣體壓力Pg變化而產(chǎn)生周期性的激勵力矩，這是引起扭振的主要原因。柴油機(jī)曲柄連桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動時的慣性力產(chǎn)生的力矩也是激勵力矩的一部分。柴油機(jī)運(yùn)動部件運(yùn)動時，可產(chǎn)生由重力造成的和有慣性力造成的激勵力矩：運(yùn)動部件的慣性力包括離心慣性力和往復(fù)慣性力。離心慣性力是不產(chǎn)生扭振激勵的，往復(fù)慣性力會產(chǎn)生周期性變化的激勵扭矩。
柴油機(jī)氣缸內(nèi)工質(zhì)燃燒期間，氣體力是一脈沖載荷，急速燃燒期的壓力升高率對其頻充特性有重大影響，當(dāng)出現(xiàn)氣缸工作工程故障時，例如進(jìn)氣壓力不正常，噴油提前角未調(diào)準(zhǔn)，燃油霧化質(zhì)量不良，各缸噴油量不均勻等都會對其他脈沖的起始壓力，壓力升高率，最高爆發(fā)壓力，脈沖的作用時間造成影響，使單缸激勵力矩的幅值，頻率和相位均有變化，導(dǎo)致各缸激勵力矩合成結(jié)果的變化，而且此時各缸負(fù)荷不均勻，各氣缸產(chǎn)生的各諧次的激勵力矩的幅值和相位彼此不相等，這個也會造成扭轉(zhuǎn)振動。
另外，一些柴油機(jī)故障，如燃燒不足、某缸停缸、減振器損壞、曲軸驅(qū)動的其它附屬系統(tǒng)的損壞等也會產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)振動。
3.2.2 發(fā)電機(jī)引起的電氣擾動
包括發(fā)電機(jī)在內(nèi)的電氣系統(tǒng)，在發(fā)生故障或進(jìn)行某些操作時，電磁力矩可能發(fā)生突變或振蕩，激起聯(lián)軸器的扭振。
電力系統(tǒng)中最常見的故障之一就是短路，短路電流可能達(dá)到上萬安培甚至幾十萬安培。強(qiáng)大的電流除了產(chǎn)生熱和力的作用使電氣設(shè)備損壞外，還將形成不同頻率的扭矩沖擊。這是因?yàn)樵诙虝旱臅r間內(nèi)，柴油機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)不可能調(diào)整好柴油機(jī)和發(fā)電機(jī)之間的功率，不可能使之達(dá)到平衡。短路的類型有三種：三相短路、兩相短路和單相短路（或兩相接地短路）。前一種為對稱短路，出線端三相短路所造成的后果最為嚴(yán)重。后兩種為不對稱短路。
3.2.3 其他原因造成的扭振動
安裝時在聯(lián)軸器所聯(lián)接的軸不對中的情況下，會產(chǎn)生一個附加應(yīng)力，從而產(chǎn)生附加扭矩，造成聯(lián)軸器的扭振現(xiàn)象。
另外，由于環(huán)境的影響或者旋轉(zhuǎn)時候的摩擦，產(chǎn)生大量的熱能，熱應(yīng)力也會促使聯(lián)軸器出現(xiàn)扭振現(xiàn)象，影響聯(lián)軸器的工作狀態(tài)和使用壽命。
3.3扭轉(zhuǎn)振動特性模型
在扭轉(zhuǎn)振動特性（包括固有頻率和振型）的計算中，常用的模型主要有兩種：集中質(zhì)量模型和連續(xù)質(zhì)量模型。前者又可以分為簡單集中質(zhì)量模型和多單元集中質(zhì)量模型。
3.3.1 集中質(zhì)量模型
集中質(zhì)量模型，是將研究對象分解成若干集中質(zhì)量塊，相鄰質(zhì)量塊之間用無質(zhì)量的理想彈簧聯(lián)結(jié)，形成一種多質(zhì)量一彈簧系統(tǒng)。根據(jù)分塊數(shù)的多少又可以分為簡單集中質(zhì)量模型和多單元集中質(zhì)量模型。由于分塊數(shù)的多少決定著計算的精度，簡單集中質(zhì)量模型雖然可以對研究對象低階特性進(jìn)行精確的描述，但由于其本身階數(shù)很低，無法體現(xiàn)研究對象較高頻率模態(tài)，所以這種模型一般只用作定性分析。多單元集中質(zhì)量模型本質(zhì)上與簡單集中質(zhì)量模型相同，但是它根據(jù)研究對象的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)大大增加了分塊數(shù)，不僅可以計算研究對象的低階特性，在計算研究對象高階特性時也可以有很高的精度。其缺點(diǎn)是當(dāng)階數(shù)較高時計算量太大，計算耗時長，計算精度也會由于計算中出現(xiàn)的累積誤差而降低。
針對這些問題，有關(guān)學(xué)者提出用各種降階方法，如最優(yōu)Hankel范數(shù)降階法、平衡降階法等，在保證計算精度的前提下，降低模型階數(shù)。也有采用基于最小二乘法和軌跡靈敏度理論的參數(shù)辨識法，對給定階數(shù)的研究對象模型進(jìn)行剛性系數(shù)和慣性系數(shù)的辨識。這些方法各有優(yōu)缺點(diǎn)，在不同的程度上解決了高階集中質(zhì)量模型的問題，但由于涉及理論較為復(fù)雜，有些降階方法更是以降低精度作為代價的。此外，集中質(zhì)量模型忽略了某些剛性元件的撓性，不能處理這些剛性元件的復(fù)合振動。這些都限制了多單元集中質(zhì)量模型的應(yīng)用。
3.3.2 分布質(zhì)量模型
如果研究對象本身就是一個具有分布參數(shù)的連續(xù)體，分布質(zhì)量模型正是其精確描述。這種模型采用偏微分方程的形式表示，既能準(zhǔn)確地計算研究對象低階頻率和振型．也可計算高階頻率和振型。還可分析某些剛性元件撓性對扭振的影響。與集中質(zhì)量模型相比，分布質(zhì)量模型可以很方便地計算轉(zhuǎn)軸任意截面的內(nèi)扭矩，適時地搜索出扭應(yīng)力最危險的截面位置。由于在進(jìn)行研究對象的分布質(zhì)量建模時，將附屬元件等轉(zhuǎn)化為附加轉(zhuǎn)動慣量加以考慮，因此這種模型可以分析附屬元件撓性對扭振的影響。因此在進(jìn)行扭振響應(yīng)的精確計算時，可以選擇研究對象的低階分布質(zhì)量模型。高階分布質(zhì)量模型也存在計算量比較大的問題，可以通過模態(tài)舍階降階法進(jìn)行降階處理。近年來有學(xué)者提出一種更為精確的低階分布質(zhì)量模型一一四端網(wǎng)絡(luò)模型，此算法簡便快捷，通過改進(jìn)的四端網(wǎng)絡(luò)模型還可以充分考慮阻尼和附加轉(zhuǎn)動慣量對扭振的影響。
3.4阻尼系數(shù)的確定
3.4.1基本模型
對于任意粘彈性材料來說，其一般的本構(gòu)關(guān)系都可寫成如下形式:
式中σ—應(yīng)力
ε一應(yīng)變
σ(i)一應(yīng)力的i階導(dǎo)數(shù)（i階應(yīng)力率）
ε(j)一應(yīng)力的j階導(dǎo)數(shù)（j 階應(yīng)力率）
P1,q1——常系數(shù)
從根本上說，橡膠及其增強(qiáng)橡膠材料都具有非線性粘彈性的性質(zhì)，但非線性方程在工程應(yīng)用中有很大的困難，故而一般使用線性粘彈性表選形式。
像膠材料在玻璃態(tài)轉(zhuǎn)化點(diǎn)附近表現(xiàn)出較好的線性粘彈性，而在較高的溫度區(qū)內(nèi)，則表現(xiàn)出強(qiáng)烈的非線性粘彈性。
粘彈性材料在簡諧波交變動態(tài)載荷作用下，應(yīng)變滯后于應(yīng)力一個相角φ，因此在一個循環(huán)周期內(nèi)，應(yīng)力應(yīng)變遲滯回線為—標(biāo)準(zhǔn)的旋轉(zhuǎn)橢圓，如下圖3.1所示，這一橢圓回線的面積△W代表了材料阻尼能力大小，即單位體積耗散的能量，三角形面積W為材料所儲存的最大彈性能密度。
若給定應(yīng)變激勵為
則應(yīng)力響應(yīng)函數(shù)為：
如果以復(fù)數(shù)形式表征
展開（3-3）式有：
式中E-材料的彈性模量
E-儲存模量
E-耗能模量
滯后角
單位體積耗散的能量△W
單位體積最大彈性儲能
阻尼系數(shù)：
從（3-11） 式可以看出，如果能測出耗能面積ΔW或應(yīng)變應(yīng)力的滯后角φ，就可以測定阻尼系數(shù)。
3.4.2測量方法
（1）自由振動法測阻尼系數(shù)
對于粘彈性材料來說，由于具有粘滯性，其自由振動表現(xiàn)為一衰減波形式。通過分析其峰值包絡(luò)線，即可得到阻尼系數(shù)。
圖3.2為自由振動法的測量裝置示意圖。
試樣在被輕輕錘擊所產(chǎn)生自由阻尼振動，其加速度信號通過載荷放大器輸入頻譜分析儀，經(jīng)兩次積分后得出位移衰減曲線，如下圖3.3所示。可得出春滯后阻尼系數(shù)。
式中P1，P3—圖3.3中標(biāo)明的曲線峰值，ζ稱為耗能因子
實(shí)際上，由于振動的隨機(jī)性，其曲線峰值亦具有隨機(jī)性，滯后阻尼系數(shù)可通過最小二乘法求包絡(luò)線方程y=pexp(-ηωnt)出。式中y為位移，ωn為固有頻率。
（2）強(qiáng)迫振動法測阻尼系數(shù)
用自由振動法測滯后的阻尼系數(shù)時，難以考慮溫度及應(yīng)變率對其的影響。而使用強(qiáng)迫振動法測可計入溫度及應(yīng)變率的影響。對于給定的試樣，先預(yù)加一初應(yīng)變，然后加一受控的正弦應(yīng)變波，使試樣做拉一拉運(yùn)動（始終保持正應(yīng)變），預(yù)應(yīng)變以保持加載過程中試樣不受壓力為準(zhǔn)。通過這個實(shí)驗(yàn)，可以得到材料的應(yīng)力—應(yīng)變曲線的滯后圈，并可得到循環(huán)加載的次數(shù)對滯后圈的影響。根據(jù)前文所提出的滯后損失與應(yīng)變能的關(guān)系，即可得到材料的阻尼系數(shù)。
（3）半功率點(diǎn)法
由振動理論知，一個振動系統(tǒng)的能量是與其振幅的平方成正比。系統(tǒng)強(qiáng)迫振動的能量在共振點(diǎn)前后能量為共振時能量的1/2處的兩個頻率f1、f2稱為半功率點(diǎn)頻率，則此半功率點(diǎn)頻率這差值與系統(tǒng)的阻尼比之間有如下關(guān)系
測試件阻尼系數(shù)
（4）李沙育圖法
當(dāng)被測的阻尼較大時，幅頻性曲線和峰值變得不明顯或甚至不出現(xiàn)，這時可用李沙育圖法。該法的測量系統(tǒng)3.5所示
將試件固定在振動臺上受激振動。如測振動臺面振動的加速度計、電荷放大器和示波器的X軸組成的測量系統(tǒng)與測被測對象振動的加速度計、電荷放大器和示波器y軸組成的測量系統(tǒng)，兩者在幅頻特性和相頻特性上完全一致。
則試件阻尼系數(shù)
參考前人的研究數(shù)據(jù)和以上的實(shí)驗(yàn)方法，再綜合實(shí)際測量的結(jié)果，我們將橡膠聯(lián)軸器的阻尼系數(shù)定為0.2。
3.5動剛度的確定
從材料力學(xué)中可知，對于一根等截面長度為1，材料的剪切模量為G的圓柱軸段，當(dāng)兩商加一扭矩MT時，則軸段兩端的盯對扭轉(zhuǎn)角位移為：
式中J——模截面的極慣性矩，對于空心圓軸狀的元件
式中D—空心圓截面半徑m
d—空心圓截面內(nèi)徑m
材料的扭轉(zhuǎn)剛度表示等直徑軸扭轉(zhuǎn)單位角度所需要的扭矩，用CS表示，則：
前面介紹過，在彈性聯(lián)軸器轉(zhuǎn)動過程中，起作用的是動剛度，根據(jù)第二章討論的結(jié)果，我們?nèi)颖堵蕿?.4，用Cd表示動剛度，則
3.6 泊松比的確定
3.6.1 泊松比的定義
泊松比又稱橫向變形系數(shù)，在彈性范圍內(nèi)，材料不論受拉或受壓，其值等于側(cè)向應(yīng)變與軸向應(yīng)變之比值，用υ表示，即
泊松比無因次量，是表示材料物理性質(zhì)的一個彈性常數(shù)。它是以法國力學(xué)家S.D.Poisson (1781-1840）命名的。
3.6.2 泊松比的測量
由于橡膠材料剛度較小，采用接觸式的測量方法會增加橡膠表面剛度，使橡膠拉伸變形失真，給材料的應(yīng)變測量帶來很大的誤差。因此采用傳統(tǒng)的電阻應(yīng)變片法和云紋法等接觸式測量方法已經(jīng)不能準(zhǔn)確地測定橡膠材料的拉伸變形。非接觸式變形測量方法很多，拉曼光譜法、電子散斑干涉法、中子衍射法等方法也已經(jīng)被采用，還有采用高分辨率的電荷耦合傳感器（CCD）的3D 光學(xué)非接觸式變形測量儀測量三維變形。
(1)電荷耦合傳感器（CCD)
在橡膠單軸拉伸實(shí)驗(yàn)中，選用十字形試樣。橡膠試樣工作區(qū)域尺寸為50mm×50mm。在試樣的前后兩面各劃2條距離20mm的平行白色標(biāo)記線，白線的中心位置用一維質(zhì)心法來確定。以此作為靶標(biāo)，通過CCD測量系統(tǒng)比較不同時刻平行的2條白線的質(zhì)心之間位移的變化
在橡膠試樣拉伸過程中，首先通過長距顯微鏡將t時刻白色標(biāo)記的位置聚焦在CCD探測器上，得到的兩路位移信號通過變換電路變成電壓信號后，同時由CCD傳感器送入同步驅(qū)動器，再由同步驅(qū)動器送入12位AD數(shù)據(jù)采集卡。單向拉伸實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)以時間-位移的形式被輸入計算機(jī)，通過數(shù)據(jù)處理軟件系統(tǒng)處理后，就可以得到橡膠在任意時刻的應(yīng)變和泊松比。
該實(shí)驗(yàn)中平行的兩條白線中心之間的起始距離（d0）為20mm，拉伸t時刻時兩條平行白線中心之間的距離變?yōu)閐1，設(shè)εt為材料在t時刻的格林應(yīng)變，則
假定如果拉伸方向是1方向，垂直于拉伸的方向?yàn)?方向，則橡膠在t時刻的主泊松比（υt）為
假定橡膠材料在拉伸狀態(tài)時材料變形前后體積不變，并假定在變形前后均為方形，橡膠材料在t時刻時泊松比和格林應(yīng)變的關(guān)系可以通過下式確定
由上式可以看出橡膠材料的泊松比隨格林應(yīng)變的增加而減小。
（2）光干涉式測量
如下圖3.7所示，在A、B兩支點(diǎn)上，放一截面為矩形，長度為L的試件，兩端加外力F（集中力），使試件產(chǎn)生無損彎曲。
如下圖3.8所示，設(shè)ρ1表示試件中曲面與xoy面相平行的曲率半徑，ρ2表示試件中曲面與yoz面相平行的曲率半徑，試件在純彎曲時沿X軸、Z軸的線應(yīng)變?yōu)?/p>
圖3.9是軸向彎曲剖視圖
在干涉式測量系統(tǒng)中，輔助玻璃片與變形的試件表面間形成一層薄膜。當(dāng)光源經(jīng)擴(kuò)束透鏡和半反透射鏡垂直照射時，入射光將在些薄膜上下表面反射，產(chǎn)生具有一定光程左的兩束相干光，產(chǎn)生一系列明暗交替的雙曲線，在計數(shù)顯微鏡中將觀察到雙曲線等厚干涉條紋，如圖3.10所示。
式中rk——第k級雙曲線干涉條紋頂點(diǎn)至中心線的距離m
假設(shè)附加厚度為n，取第m，n級暗條紋，則對應(yīng)的雙曲線的頂點(diǎn)到中心線的距離為
式中rm，rn—第m級、第n級雙曲線頂點(diǎn)到中心線的距離m
（3-27）-3-28（得）
為消除干涉圖樣中心的確定而產(chǎn)生的誤差，轉(zhuǎn)換為對應(yīng)的雙曲線干涉條紋兩頂點(diǎn)間的距離的測量，得
因而軸向彎曲的曲率半徑為
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