內(nèi)齒行星齒輪傳動(dòng)零件的變形位移研究
4.1引言
上一章對(duì)內(nèi)齒行星齒掄傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力建模進(jìn)行了系統(tǒng)的研究。從研究中發(fā)現(xiàn)，建立位移協(xié)調(diào)補(bǔ)充方程時(shí)，都必須將變形位移與構(gòu)件的柔度或剛度聯(lián)系，變換成真正要求解的力或力矩的關(guān)系。對(duì)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的軸類零件以及齒輪等，可以利用現(xiàn)有的有關(guān)計(jì)算公式直接建立變形位移與力握）的關(guān)系。然而對(duì)于行星齒板、偏心套等零件，由于其結(jié)構(gòu)形狀復(fù)雜只能將變形按接觸變形進(jìn)行處理，即用接觸力與接觸剛度系數(shù)之比代換位移。這種方法簡(jiǎn)便，可以直接導(dǎo)出解的結(jié)果。適合于載荷不大，零件變形小的傳動(dòng)。但對(duì)于重載高速傳動(dòng)來(lái)說(shuō)，零件的總體變形往往比較大，特別是行星齒板的齒圈厚度是隨位置角度變化的，其變形也將隨嚙合齒變化而變化。
因此，齒板的剛度在工作過(guò)程中變化也很大，不可能為常數(shù)。行星齒板上某點(diǎn)的位移與作用在齒板上力（載荷）的關(guān)系并不象接觸變形那樣，某點(diǎn)的位移只與該點(diǎn)受載及該點(diǎn)柔度（剛度）有關(guān)。而是通過(guò)齒板的整體柔度系數(shù)矩陣聯(lián)系作用在齒板上所有外力來(lái)反映某點(diǎn)的位移。把這種位移與力的關(guān)系叫做柔度方程。行星齒板柔度方程中的柔度系數(shù)，隨工況位置φ(j)變化，不是固定值。柔度系數(shù)可以在不同的工況時(shí)通過(guò)有限元法等數(shù)值計(jì)算方法來(lái)確定。本章用有限元法計(jì)算行星齒板及偏心套在不同工況時(shí)的柔度系數(shù)，導(dǎo)出其位移與力的關(guān)系。對(duì)軸、軸承、外齒輪等零件的位移與力的關(guān)系，用現(xiàn)有的理論公式表示。
4.2彈性體的柔度方程及其柔度計(jì)算
柔度方程亦是彈性體的位移表達(dá)式。有限元法中的剛度方程就是彈性體節(jié)點(diǎn)位移與節(jié)點(diǎn)力之間的關(guān)系
由式（4-1）表達(dá)的是彈性體節(jié)點(diǎn)位移的隱函式。必須將其轉(zhuǎn)換只與彈性體外載荷有關(guān)的節(jié)點(diǎn)位移顯函式，才有用于內(nèi)齒行星齒輪傳動(dòng)的動(dòng)力分析中。由于式（4-1）中的總剛度矩陣K是一個(gè)奇異矩陣，不存在逆矩陣，所以不能直接解出其位移表達(dá)式來(lái)。必須考慮實(shí)際邊界條件，以及為避免出現(xiàn)剛體運(yùn)動(dòng)，對(duì)具體的彈性體進(jìn)行某體節(jié)點(diǎn)零位移的約束處理。即對(duì)總剛度矩陣K要作相應(yīng)的變更，使總剛度矩陣變?yōu)榉瞧娈惥仃嚒Ｌ幚磉吔缥灰萍s束的方法見參考文獻(xiàn)。
經(jīng)過(guò)約束處理后，式（4-1）記作
式（4-6）就是彈性體離散化后，經(jīng)過(guò)約束處理的節(jié)點(diǎn)位移表達(dá)式，即彈性體的柔度方程。設(shè)約束處理后有n組節(jié)點(diǎn)位移，即
式
（i=1，2，…，n；j=1，2，…，n）是彈性體柔度子矩陣。
所以柔度方程為
式（4-12）就是外力作用點(diǎn)位移及其作用力的關(guān)系式。
柔度矩陣戌構(gòu)件的材料、幾何形狀以及劃分網(wǎng)格形狀等因素有關(guān)。其中各元素可以依次加單位載荷，用式（4-12）計(jì)算確定。先令式（4-14）中F1=1，F(xiàn)2=F3=…=Fr=0代入式（4-12）得
上式中Di1=δ<1>i就是F1作用點(diǎn)加單位載荷計(jì)算出的柔度系數(shù)值。同理可分別在F2，F(xiàn)3，…，F(xiàn)r作用點(diǎn)加單位載荷，求出其余的柔度
系數(shù)值，于是得到
式（4-19）就是用有限元法通過(guò)加單位載荷求得的彈性體柔度矩陣
4.3偏心套及行星齒板的柔度計(jì)算
從上節(jié)介紹知，彈性體的柔度系數(shù)矩陣可以通過(guò)有限元法，加單位載荷來(lái)計(jì)算確定。因此，偏心套及內(nèi)齒行星傳動(dòng)齒板的柔度計(jì)算，實(shí)際上是對(duì)其進(jìn)行有限元建模分析。下面以SHQ40型三環(huán)傳動(dòng)為例，在SUN工作站上使用I-DEAS軟件中的有限元模塊計(jì)算偏心套及齒板的柔度系數(shù)。
4.3.1偏心套的有限元柔度計(jì)算
偏心套的實(shí)體模型如圖4-1所示。由于在三環(huán)傳動(dòng)中，偏心套的兩側(cè)是由檔塊整面限制其位移，即有w=0，εz=0，γzy=γzx=0，因此，可以將偏心套簡(jiǎn)化為平面應(yīng)變問題來(lái)處理。
圖4-1偏心套實(shí)體模型
用I-DEAS文件將實(shí)體模型傳輸?shù)接邢拊治鲕浖小Ｔ诖藥缀文Ｐ偷幕A(chǔ)上，對(duì)外圓周以每360°/5一個(gè)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行等分，選用平面三角形單元，自動(dòng)生成如4-2所示的有限元網(wǎng)格圖。
由于偏心套是與高速軸直接套在一起，并通過(guò)鍵傳遞扭矩，計(jì)算偏心套的柔度時(shí)，可取偏心套與鍵接觸處節(jié)點(diǎn)法向位移，以及偏心套內(nèi)圓與軸接觸處各節(jié)點(diǎn)的徑向位移為零（見圖4-2所示）。
圖4-2偏心套網(wǎng)格及約束圖
齒板是通過(guò)軸承將力作用在偏心套的外圓周上，而且在不同的工況其接觸點(diǎn)不相同。因此，計(jì)算偏心套的柔度系數(shù)矩陣時(shí)，需要對(duì)外圓周上的每個(gè)節(jié)點(diǎn)，依次加單位載荷，計(jì)算出外圓周上每個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移（亦其柔度系數(shù)值）。將這些柔度系數(shù)值整理成適合計(jì)算調(diào)用的磁盤文件PXTRD.DAT。
4.3.2行星齒板的有限元柔度計(jì)算
行星齒板在內(nèi)齒行星傳動(dòng)中，既是雙曲柄機(jī)構(gòu)的連桿，又是少齒差傳動(dòng)的內(nèi)齒輪，是傳遞運(yùn)動(dòng)及動(dòng)力的關(guān)鍵零件。齒板一般都是直齒圓柱齒輪。其它零件與其接觸作用的力都是平行于齒板平面沿其厚度均布的。在板面內(nèi)無(wú)任何外力作用，因此可以認(rèn)為板內(nèi)各點(diǎn)的六個(gè)應(yīng)力分量中所有沿Z方向（垂直于板聞）的分量均為零，即有σz=τyz=τxz=0,剩下的三個(gè)分量σxσyτxy都是作用在和XOY平
面相平行的平面內(nèi)。行星齒板的實(shí)體模型如圖4-3所示。這樣，可以把對(duì)齒板的研究簡(jiǎn)化成平面應(yīng)力問題來(lái)處理。
行星齒板的實(shí)體模型如圖4-3所示。將其傳輸?shù)接邢拊K中，以平面三角形單元進(jìn)行網(wǎng)格化分，如圖4-4所示。高速軸孔的周邊節(jié)點(diǎn)數(shù)為360°/Z2。
圖4-3齒板實(shí)體模型
由于在內(nèi)齒行齒輪傳動(dòng)動(dòng)力分析中，計(jì)算的是外力作用點(diǎn)之間的相對(duì)位移，因此，在對(duì)齒板進(jìn)行剛體位移約束時(shí)，約束水平位移的節(jié)點(diǎn)應(yīng)盡可能選在外力作用點(diǎn)之間的水平坐標(biāo)范圍之外。約束鉛垂位移的節(jié)點(diǎn)應(yīng)盡可能選在外力作用點(diǎn)之間的垂直坐標(biāo)之外。這樣才不至于由于約束節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生的反力影響外力作用點(diǎn)之間的相對(duì)位移。根據(jù)這個(gè)原則，可令齒板最左端邊緣一節(jié)點(diǎn)的水平位移為零，以消除齒板的剛體水平位移；令齒板最上端邊緣一節(jié)點(diǎn)及中孔垂直對(duì)稱軸與齒板最上邊邊緣交點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)位移為零，以消除齒板的剛體垂直位移和剛體角位移，如圖4-4 所示。
圖4-4齒板網(wǎng)絡(luò)及約束圖
單位載荷依次加在各高速軸孔內(nèi)圓周邊各節(jié)點(diǎn)，以及與外齒輪嚙合的內(nèi)齒圈分度圓節(jié)點(diǎn)上，將求解出的柔度系數(shù)分為高速軸、內(nèi)齒圈兩大類，分別見磁盤文件GF1.DAT,GF2.DAT及GFN.DAT，GFN.DAT等。
4.4偏心套和行星齒板的位移及其剛度系數(shù)
用有限元法計(jì)算出偏心套和齒板的柔度系數(shù)表后，就可以由式（4-12）寫出它們?cè)诓煌r時(shí)，關(guān)于嚙合力及軸承作用力的節(jié)點(diǎn)柔度方程組。但是，由軸承作用給偏心套及齒板高速軸孔的反力，是沿作用周邊非均布變化的，而且作用范圍（接觸角）也很知道。這給動(dòng)力分析帶來(lái)很大的困難。因此有必要對(duì)軸承作用給這兩個(gè)零件的節(jié)點(diǎn)載荷加以簡(jiǎn)化處里。
4.4.1軸承載荷的處理
確定作用于結(jié)構(gòu)邊界上的非均布載荷是一件復(fù)雜工作，往往需要進(jìn)行一些較復(fù)雜的計(jì)算，譬如采用接觸問題有限元法進(jìn)行計(jì)算。在實(shí)際應(yīng)用中常采用一些近似的假設(shè)規(guī)律來(lái)代替這些復(fù)雜的未知分布規(guī)律。對(duì)于軸承載荷，一般假設(shè)沿周邊按余弦規(guī)律分布如圖4-5所示，即
Pα= Pα maxcos Kα （4-20）
式中Pα二為分布載荷：
Pα max 為最大分布載荷；
由上式可寫出
于是得到
其中PLE為軸承負(fù)荷的合力；
Rr為偏心套或齒板孔半徑；
φ為接觸角。
系數(shù)K可按下式計(jì)算
當(dāng)α=φ/2時(shí)，由式（4-20）得知Pα為零：即Pα=Pα maxcosKα=0
當(dāng)分布規(guī)律求出以后，即可按下式計(jì)算接觸邊界上各節(jié)點(diǎn)之間微段上分布力的合力Pm及其X、Y軸方向上的分量Pmx和Pmy
然后，按靜力學(xué)等效原理，將微段上的合力或其分量分別移置到對(duì)應(yīng)的邊界各節(jié)點(diǎn)上。因邊界上各節(jié)點(diǎn)之間的微段一般較短，可認(rèn)為各微段上的作用力近似梯形分布，而Pmx，Pmy就可以認(rèn)為是作用在梯形的形心上（圖4-6（a））。
對(duì)于邊界上每一個(gè)微段，按上述方法計(jì)算完后，再對(duì)每一個(gè)邊界點(diǎn)處的力求和即得到邊界節(jié)點(diǎn)沿y向的載荷分量（圖4-6（b））。例如，對(duì)于邊界節(jié)點(diǎn)2，其節(jié)點(diǎn)載荷P2y為
在計(jì)算中，接觸角φ的大小是預(yù)先給定的，它的大小與接觸處的剛度、間隙以及潤(rùn)滑情況等因素有關(guān)。一般情況下，在120°～180°范圍內(nèi)選取，本文接觸角取φ=150°計(jì)算。
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