第2章 滾柱活齒傳動嚙合特性及潤滑性能
2.1 引言
滾柱活齒傳動由于同時具有徑向尺寸小、承載能力高、結(jié)構(gòu)緊湊、傳動效率高等優(yōu)點(diǎn)，因此在石油鉆采及管道工程中具有廣闊的應(yīng)用前景。但目前對它的理論研究還很不完善，使得人們對它的設(shè)計(jì)還只能建立在經(jīng)驗(yàn)和預(yù)估的基礎(chǔ)上，所以對其進(jìn)行理論研究對于深刻理解和更好地應(yīng)用滾柱活齒傳動具有重要意義。
本章將對滾柱活齒傳動的嚙合特性及潤滑性能進(jìn)行分析。首先根據(jù)相對運(yùn)動關(guān)系，推導(dǎo)中心輪齒廓方程，并分析活齒中心運(yùn)動軌跡曲率的特點(diǎn)，再根據(jù)彈性力學(xué)理論和變形協(xié)調(diào)條件建立其力學(xué)模型，最后分析潤滑狀態(tài)并求解油膜厚度，從而為設(shè)計(jì)、分析和加工滾柱活齒傳動減速器奠定理論基礎(chǔ)。
2.2 滾柱活齒傳動原理及特點(diǎn)
滾柱活齒傳動系統(tǒng)（見圖2-la）主要由波發(fā)生器H、活齒G、活齒架S、中心輪R四個部分組成。如圖2-lb所示，滾柱活齒傳動系統(tǒng)在工作時，輸入驅(qū)動力后，輸入軸以等角速度ωH，逆時針旋轉(zhuǎn)，從而帶動波發(fā)生器使其幾何中心O′繞旋轉(zhuǎn)中心O以同樣角速度旋轉(zhuǎn)，波發(fā)生器半徑變化的輪廓曲線產(chǎn)生徑向推力，迫使與中心輪工作齒廓接觸的諸活齒，在沿活齒架徑向?qū)Р垡苿拥耐瑫r，沿著中心輪工作齒廓滑滾，并通過活齒架的徑向?qū)Р弁苿踊铨X架以勻速ωS逆時針轉(zhuǎn)動，于是滾柱活齒傳動完成了輸入速度ωH、輸出速度ωS的轉(zhuǎn)速變換運(yùn)動。而與中心輪非工作齒廓接觸的諸滾柱活齒，在活齒架徑向?qū)Р弁苿酉�，順序地返回到�?dǎo)槽內(nèi)工作起始位置，從而分別完成了各自的運(yùn)動循環(huán)。
由滾柱活齒傳動的結(jié)構(gòu)可知，滾柱活齒G是個三副件，它與中心輪R、波發(fā)生器H和活齒架S形成了三個高副，所以研究滾柱活齒傳動嚙合狀態(tài)首先要研究一個嚙合副在一個運(yùn)動循環(huán)中的嚙合過程。對于常用的波幅ZH=1的波發(fā)生器，其輪廓被經(jīng)過幾何中心O′和旋轉(zhuǎn)中心O的連線分為兩部分：升程曲線和回程曲線，它每轉(zhuǎn)一周推動活齒徑向往復(fù)一次，成為嚙合副的一個運(yùn)動循環(huán)。與升程曲線接觸的活齒在波發(fā)生器的推動下，由中心輪的齒頂向齒根運(yùn)動，而與回程曲線接觸的活齒則由中心輪的齒根向齒頂運(yùn)動。波發(fā)生器每轉(zhuǎn)一周推動活齒徑向往復(fù)一次，稱為嚙合副的一個運(yùn)動循環(huán)。在一個運(yùn)動循環(huán)中，活齒與中心輪輪齒接觸點(diǎn)的軌跡形成了中心輪R的一個齒。由嚙合副的嚙合過程可知：與波發(fā)生器H的升程曲線接觸的活齒都處于嚙合狀態(tài)，而與波發(fā)生器H的回程曲線及遠(yuǎn)停、近停曲線接觸的活齒都處于非嚙合狀態(tài)，所以我們將波發(fā)生器H的升程曲線所對的圓心角稱為工作區(qū)域角，工作區(qū)域角內(nèi)為嚙合區(qū)，而把它的回程曲線（包括遠(yuǎn)停、近停曲線）所對的圓心角稱為非工作區(qū)域角，非工作區(qū)域角內(nèi)為非嚙合區(qū)。
2.3 中心輪齒廓方程的建立及齒廓仿真
根據(jù)滾柱活齒傳動原理可知：中心輪齒廓曲線是活齒G在運(yùn)動過程中齒廓曲線族的包絡(luò)線。當(dāng)活齒傳動不發(fā)生頂切時，該包絡(luò)線就是活齒中心運(yùn)動軌跡的等距線。所以，欲求中心輪齒廓方程就要先求出活齒中心運(yùn)動軌跡的方程。
2.3.1 活齒中心運(yùn)動軌跡方程的建立
滾柱活齒傳動的連續(xù)性是靠彼此間存在相差的并聯(lián)嚙合副交替工作來實(shí)現(xiàn)的。因?yàn)楦鱾�并聯(lián)的嚙合副從嚙合開始到結(jié)束的工作過程完全相同，相鄰兩個嚙合副僅差一個相位，所以研究與相位無關(guān)的齒廓方程，可以任選一個活齒作為研究對象。另外，在工作時，需將中心輪R 或活齒架S 固定一個（常固定中心輪R ）。
中心輪R 靜止時，與之固連的坐標(biāo)系為
（圖2-2) ，波發(fā)生器H勻速逆時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)活齒在波發(fā)生器上作純滾動并在中心輪齒廓限制下推動活齒架作勻速逆時針轉(zhuǎn)動。波發(fā)生器H 的幾何中心為O′，活齒G 的幾何中心為O1。在矢量ΔO O′O1中，矢量
即為所求的活齒中心運(yùn)動軌跡曲線的徑矢，
為波發(fā)生器半徑矢量
,r2μ為活齒半徑矢量（|r2μ|=r2）,則
。初始位置1時，
、
和iμ軸重合，經(jīng)過一段時間后，波發(fā)生器H 和活齒G 轉(zhuǎn)到位置2時，設(shè)與iμ軸成α角，與iμ軸成θ角。
式中iHGK—中心輪R 固定時，波發(fā)生器輸入、活齒架輸出時的傳動比。
同時為方便計(jì)算，令l=e/(r1+r），φ＝∠MO1O，則∠O1MO=θ-φ，代入式（2-1）整理得活齒中心軌跡方程為
，即：
2.3.2 中心輪齒廓方程的建立
在不發(fā)生頂切的情況下，中心輪齒廓曲線就是活齒中心運(yùn)動軌跡的外等距線，表示為：
式中ρ'ρ——中心輪齒廓曲線的徑失。
根據(jù)式（2-2）,得活齒中心輪齒廓方程為：
2.3.3 中心輪齒廓仿真
為驗(yàn)證以上理論推導(dǎo)的正確性并直觀地顯示出活齒傳動中的嚙合情況，擬對其進(jìn)行仿真研究。為顯示齒廓的三維曲面，將齒廓曲面對應(yīng)的自變量區(qū)域（XOY平面上）劃分為5×34個網(wǎng)格。先由數(shù)學(xué)模型計(jì)算出中心輪和活齒齒面上對應(yīng)自變量區(qū)域網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的值，得到齒廓曲面的網(wǎng)格圖，然后采用二維線性插值的方法，得到整個齒廓曲面。同時，比較活齒與中心輪齒廓曲面上對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)值，將坐標(biāo)值相同的點(diǎn)（接觸點(diǎn)）在圖象上以另一種顏色顯示，以便觀察接觸的情況。編程采用具有很強(qiáng)矩陣處理功能和繪圖功能的MatLab 語言。
活齒與波發(fā)生器的嚙合情況見圖2-3，可以清楚地看到接觸線為一條直線。從生成的接觸點(diǎn)的坐標(biāo)可以看到，這些點(diǎn)的坐標(biāo)中只有x值變化，而y和z 的坐標(biāo)值相同，也就是這些點(diǎn)在空間上組成了一條平行于x軸的直線，說明活齒與波發(fā)生器之間不但是線接觸，而且這條接觸線也平行于活齒的回轉(zhuǎn)軸。
采用相同算法得到活齒與中心輪嚙合時齒廓曲面的三維圖形（圖2-4 )，同樣可見其接觸線也是一條平行于回轉(zhuǎn)軸的直線。
2.4 活齒中心運(yùn)動軌跡曲率的確定及其特點(diǎn)
在活齒傳動的嚙合理論分析中，常常要用到中心輪齒廓上任意一點(diǎn)的曲率K，而根據(jù)中心輪齒廓方程直接計(jì)算曲率極為復(fù)雜。
另一方面，由于波發(fā)生器的半徑常常遠(yuǎn)大于活齒半徑（通常十幾倍），所以活齒中心運(yùn)動軌跡曲線上任意一點(diǎn)的曲率僅比它的等距線——中心輪齒廓曲線上對應(yīng)點(diǎn)的曲率略大，在接觸疲勞強(qiáng)度計(jì)算中可以近似認(rèn)為相等。這樣不但使活齒的理論分析變得可行，同時也可大大地簡化計(jì)算，使之更便于工程應(yīng)用。另外，這樣近似計(jì)算的結(jié)果使得到的接觸疲勞強(qiáng)度略偏于安全，設(shè)計(jì)更為可靠。
活齒中心運(yùn)動軌跡的曲率為：
一滾柱活齒傳動減速器，偏心距e =1.5mm，波發(fā)生器半徑r1=30mm，活齒半徑r2=8mm，傳動比iHGK=9。采用MatLab編程，分別得到活齒中心運(yùn)動軌跡和中心輪齒形（圖2-5）以及活齒中心運(yùn)動軌跡的曲率K與活齒架旋轉(zhuǎn)過的角度θ之間的關(guān)系曲線（圖2-6）。
推而廣之，并考慮到中心輪齒廓曲率的變化趨勢與活齒中心運(yùn)動軌跡相同，可得到中心輪曲率K的特點(diǎn)如下：
(1）由圖2-6中K-θ曲線可以看出，中心輪每一個齒在齒根處曲率最大，曲率半徑最小。沿著齒廓上升的過程中曲率減小到零后，繼續(xù)減小為負(fù)值。到達(dá)齒頂時，曲率最小。
(2）齒頂處曲率的絕對值要小于齒根處的曲率絕對值。也就是說，齒根處的曲率半徑要略小。所以在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中可用齒根處的曲率半徑來保證不發(fā)生頂切，在強(qiáng)度校核計(jì)算中可用齒根處的曲率半徑來計(jì)算以使結(jié)果略偏于安全。
2.5 滾柱活齒傳動力學(xué)模型的建立
2.5.1 單個活齒受力分析
波幅ZH＝1 的滾柱活齒傳動在理論上每一時刻都有半圈活齒參與嚙合，屬于復(fù)雜的過約束機(jī)構(gòu)，無法用剛體力學(xué)完全確定，必須根據(jù)彈性力學(xué)理論和變形協(xié)調(diào)條件建立其力學(xué)模型。分析可知，不同活齒在每個運(yùn)動循環(huán)中受力情況相同，不失一般性，從圖2-la中右側(cè)逆時針任取第j個活齒作研究對象。不計(jì)重力和摩擦力，活齒受力如圖2-7 所示。
固定中心輪R，不失一般性，選擇活齒數(shù)ZG與中心輪齒數(shù)ZR之差為1。此時傳動比大小等于活齒個數(shù)。假設(shè)開始時，波發(fā)生器的幾何中心O1在X軸上，該活齒中心在B點(diǎn)，波發(fā)生器以角速度ω逆時針轉(zhuǎn)動。t時刻時，波發(fā)生器轉(zhuǎn)過θ角，該活齒中心運(yùn)動到Bl點(diǎn)，波發(fā)生器的幾何中心從Ol運(yùn)動到O2；Fsj、FHj、FKj分別為活齒架、波發(fā)生器、中心輪對該滾柱活齒的法向壓力。
根據(jù)傳動比的定義和波發(fā)生器與活齒間相對運(yùn)動關(guān)系，得到：
式中iHGK——中心輪固定時，波發(fā)生器輸入、活齒架輸出時的傳動比；
θ——波發(fā)生器逆時針轉(zhuǎn)過的角度。
式中
kn—活齒中心運(yùn)動軌跡在Bl點(diǎn)處的法線斜率；
ax—活齒中心在X方向的加速度；
ay—活齒中心在Y方向的加速度。
根據(jù)活齒中心運(yùn)動軌跡方程：
其中dj=(r1+r2)sin∠OO2B1/sin∠B1OO2。每個活齒有3個未知數(shù)，共有3ZG個未知數(shù)，方程數(shù)為2ZG+l個，需要補(bǔ)充ZG-1個方程，方可求解。
考慮變形協(xié)調(diào)條件，設(shè)第j個活齒的接觸變形量分別為δHj，δKj和δSj，導(dǎo)致活齒中心與旋轉(zhuǎn)中心O的連線OB1轉(zhuǎn)過微小角度θG，反映在坐標(biāo)系中，就是活齒中心B在水平和垂直兩方向微小的位移Bxj和Byj，可列：
式（2-7）和式（2-8）聯(lián)立，其中未知數(shù)為θG、Bxj和Byj，共有2ZG+l個，而方程共有3ZG個，所以ZG-1為式（2-7）和式（2-8）聯(lián)立后實(shí)際補(bǔ)充的方程數(shù)，它與式（2-5）和式（2-6）聯(lián)立后需要補(bǔ)充的方程數(shù)相等，所以原方程可解。
2.5.2 雙排結(jié)構(gòu)滾柱活齒受力分析
在實(shí)際應(yīng)用中，為平衡掉負(fù)載對支承的徑向作用，一般采用180°對稱布置的雙排結(jié)構(gòu)，兩排活齒共用一個活齒架。圖2-8 中O′a′、O″A″分別表示第一排、第二排波發(fā)生器的偏心距。在以下分析中約定：上角標(biāo)“′”表示第一排活齒傳動的參數(shù)，上角標(biāo)“″”表示第二排活齒傳動的參數(shù)。T1、T1′和T1″分別表示輸入軸上的總輸入力矩、第一和第二個波發(fā)生器分擔(dān)的輸入力矩。在輸入力矩的作用下，輸入軸和波發(fā)生器發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形使兩波發(fā)生器的相位差由理論的180°有了一個相對的變化△φ，從而使兩排活齒的受力情況略有不同，所承擔(dān)的扭矩也不同。為此，引入載荷傳遞不均勻系數(shù)Kp，設(shè)第二排活齒傳遞的扭矩為KpT2，則第一排活齒傳遞扭矩為（l-KP）T2，其中T2為輸出軸上輸出的總扭矩。
式中l(wèi)O′O″—— 兩波發(fā)生器軸向距離即O′O″距離；
G——材料的剪切彈性模量；
Ip——軸截面極慣性矩，πD4/32(mm4),D為軸直徑；
由于輸入軸的扭轉(zhuǎn)變形，使第二個波發(fā)生器相對于第一個波發(fā)生器發(fā)生了△φ的轉(zhuǎn)角，假設(shè)波發(fā)生器固定，由相對運(yùn)動關(guān)系可知，相當(dāng)于活齒架發(fā)生了△φ/iHGK的偏轉(zhuǎn)角，又因在Tl″的作用下，活齒架發(fā)生了θG″的偏轉(zhuǎn)角，故第二個活齒架的總偏轉(zhuǎn)角為θG″+△φ/iHGK，同時在Tl′作用下活齒架的微轉(zhuǎn)角為θG′，因兩排活齒共用一個活齒架，故得
由公式（2-8)，可用Bxj′、Byj′和θG′等2ZG+l個未知量代換式（2-10）中的FHj′、FKj′和FSj′等3ZG個未知量，從而將方程組化為含Bxj′、Byj′、θG′和KP等2ZG+2個未知量的2ZG+1 個方程的方程組。同理可將式（2-11）變換為含Bxj′、Byj′和θG′等2ZG+1個未知量的2ZG+l 個方程的方程組，聯(lián)立式（2-9）、（2-10）、( 2-11) ，可得一個含4ZG+3個方程的方程組，而該方程組的未知量Bxj′、Byj′、θG′、Bxj″、Byj″、θG″及KP共有4ZG+3個，故完全可以求解。
2.5.3 計(jì)算實(shí)例
一特種用途的滾柱活齒減速器，采用雙排結(jié)構(gòu)，中心輪固定，波發(fā)生器輸入，活齒架輸出。輸出扭矩為150Nm，輸入軸轉(zhuǎn)速n1=2980rpm，結(jié)構(gòu)參數(shù)為：波發(fā)生器幾何中心相對旋轉(zhuǎn)中心的偏心距e=1.5，波發(fā)生器半徑r1=30，活齒半徑r2＝8，活齒數(shù)ZG＝9，中心輪齒數(shù)ZR=8，活齒架內(nèi)徑DS=66，外徑DM=86，兩排活齒軸向距離lO′O″=76，活齒長L=60,（長度單位：mm)。 活齒材料為GCr15，密度7.8×10-6kg/mm3，載荷不均勻系數(shù)kp=0.4953。根據(jù)公式（2-5)～(2-11)，采用牛頓法求解聯(lián)立方程組。為方便初值的確定，先用高斯法求解，將所得的解作為初始值，然后再用牛頓法求解方程組。采用MatLab編程計(jì)算，當(dāng)OO1逆時針轉(zhuǎn)過4°時，各力情況見表2-1。
表2-1 實(shí)例的計(jì)算結(jié)果
| 第一排活齒 |
第二排活齒 |
| 活齒 |
FH |
FK |
FS |
kp |
FH |
FK |
FS |
| 2 |
1.064 |
1.362 |
1.142 |
0.4953 |
1.027 |
1.393 |
1.297 |
| 3 |
1.002 |
1.176 |
1.120 |
0.993 |
1.133 |
1.099 |
| 4 |
0.883 |
0.971 |
0.983 |
0.871 |
0.983 |
0.896 |
| 5 |
0.781 |
0.826 |
0.651 |
0.779 |
1.120 |
0.912 |
注：因第一個活齒開始進(jìn)入非工作齒廓，故不考慮它的受力情況。
2.6 滾柱活齒傳動的潤滑性能分析
減速器的潤滑狀態(tài)直接影響其摩擦和磨損的程度，進(jìn)而對其壽命產(chǎn)生影響。為了準(zhǔn)確把握和評價滾柱活齒減速器的潤滑特性，本節(jié)擬對其進(jìn)行分析，判斷其潤滑狀態(tài)，求解油膜厚度。
2.6.1 潤滑狀態(tài)的判斷及油膜厚度的計(jì)算
滾柱活齒減速器在工作時，活齒與活齒架、活齒與波發(fā)生器、活齒與中心輪之間皆為線接觸高副，且減速器內(nèi)充滿潤滑油，這時的各運(yùn)動副之間的潤滑屬于既要考慮潤滑油的粘壓效應(yīng)，又要考慮高副構(gòu)件表面彈性變形的彈性流體動力潤滑（EHL）。同時，由于高副間的相對運(yùn)動要產(chǎn)生溫升以及工作在采油井下，在分析時，必須要考慮潤滑油及高副運(yùn)動件之間的熱平衡，也就是屬于熱彈流問題。所以，本潤滑屬于線接觸穩(wěn)態(tài)全膜熱彈流潤滑，潤滑油按牛頓流體處理。先分析波發(fā)生器與活齒之間的潤滑情況，活齒與中心輪、活齒與活齒架之間的情況完全類似，只是計(jì)算時幾何參數(shù)略有不同。
根據(jù)計(jì)算流體動力潤滑膜厚的張鵬順統(tǒng)一公式，最小膜厚
和中心膜厚
為：
u——接觸體表面的平均速度（卷吸速度）
；
w——單位接觸線長度上的載荷。
山于活齒與中心輪、活齒架和波發(fā)生器之間存在高速滾動，而且在滾動的同時又伴有相當(dāng)?shù)幕瑒�，所以熱效�?yīng)不能忽略。
引入熱承載參數(shù)L，它反映潤滑劑熱特性和滾動速度的大小。
式中
δ——粘溫系數(shù)；
K——潤滑油導(dǎo)熱率。
考慮熱效應(yīng)時的最小膜厚為Hin，對應(yīng)的等溫的膜厚為Hmin,ISO，則有：
式中
C——考慮入口剪切熱的修正因子，
；
z——滑滾比，
。
以上是針對波發(fā)生器和活齒之間的潤滑情況分析，對于活齒和中心輪之間以及活齒和活齒架之間的情況完全相同，不同的是當(dāng)量半徑和卷吸速度的計(jì)算。
2.6.2計(jì)算實(shí)例
一滾柱活齒減速器，波發(fā)生器半徑rl=30mm，偏心距e=1.5mm，活齒半徑r2=8mm，傳動i=9，波發(fā)生器轉(zhuǎn)速n=2850rpm，材料的彈性模量E1=E1=2.1×1011N/m2,泊松比v1=v2=0.3，粘壓系數(shù)α=2.2×10-8Pa-1，常壓下潤滑油的粘度粉η＝35.8×10-3N·S/m，粘溫系數(shù)δ＝0.017。
由公式（2-12)～(2-15)，編程計(jì)算得t=0.6316，根據(jù)潤滑狀態(tài)的判斷條件，當(dāng)5/9＜t＜1時，是彈性流體動力潤滑狀態(tài)，且常溫時最小油膜厚度為=0.8920μm，中心膜厚為＝1.0989μm�？紤]熱效應(yīng)時的修正因子為C= 0.7148 ，最小油膜厚度為＝0.6376μm。
2.7 本章小結(jié)
1．根據(jù)滾柱活齒傳動的相對運(yùn)動關(guān)系，建立了活齒中心運(yùn)動軌跡方程和中心輪齒廓方程，并仿真出齒廓曲面；給出了活齒中心運(yùn)動軌跡曲線上任意一點(diǎn)曲率K 的計(jì)算方法，分析了中心輪在齒根和齒頂處曲率半徑的特點(diǎn)。
2．在單個活齒受力分析的基礎(chǔ)上，根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件，給出了滾柱活齒的受力計(jì)算公式，為滾柱活齒傳動的強(qiáng)度設(shè)計(jì)奠定了基礎(chǔ)。
3．深入分析了滾柱活齒傳動的潤滑性能，給出了活齒與波發(fā)生器之間的油膜厚度的計(jì)算方法，確定了潤滑狀態(tài)是屬于線接觸穩(wěn)態(tài)全膜熱彈流潤滑。
4．以一具體滾柱活齒減速器為例，得到了活齒中心運(yùn)動軌跡上任意一點(diǎn)曲率K與活齒架旋轉(zhuǎn)過的角度θ之間的關(guān)系曲線，求出了兩排活齒的受力情況，計(jì)算出活齒與波發(fā)生器之間的油膜厚度。
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