第2章 圓柱正弦活齒傳動(dòng)空間嚙合理論研究
2.1引言
活齒傳動(dòng)的結(jié)構(gòu)型式對(duì)其運(yùn)動(dòng)學(xué)特性和動(dòng)力學(xué)特性的影響起決定性作用。所以工程中應(yīng)用時(shí)，對(duì)設(shè)計(jì)方案一定要周密的考慮到各種影響因素，以求得到最合理、傳動(dòng)性能最好的結(jié)構(gòu)方案。目前在常見(jiàn)的活齒傳動(dòng)中，例如擺線活齒傳動(dòng)或推桿活齒傳動(dòng)等，其激波器均為偏心圓結(jié)構(gòu)，這種結(jié)構(gòu)形式使激波器產(chǎn)生慣性力和作用力，引起系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)不穩(wěn)定，為了消除這些力的作用，必須采用雙排激波器串聯(lián)分布并保證相位差為180°，這樣又加長(zhǎng)了傳動(dòng)的運(yùn)動(dòng)鏈，增加了動(dòng)力損耗。若采用橢圓型激波器等自平衡結(jié)構(gòu)，雖可使慣性力、作用力平衡，但需采用柔性軸承技術(shù)，加大了加工成本。
本文研究的圓柱正弦活齒傳動(dòng)是一種具有自平衡結(jié)構(gòu)的活齒傳動(dòng)，僅采用單排激波器的結(jié)構(gòu)型式，即可使慣性力達(dá)到平衡，縮短了傳動(dòng)運(yùn)動(dòng)鏈，減少了動(dòng)力損耗，提高了傳動(dòng)系統(tǒng)的效率和運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性。圓柱正弦活齒傳動(dòng)屬空間嚙合傳動(dòng)，目前在活齒傳動(dòng)空間嚙合理論方面的研究還未見(jiàn)報(bào)道。本文首先在自由度計(jì)算、運(yùn)動(dòng)可能性及連續(xù)傳動(dòng)條件等方面對(duì)其進(jìn)行分析，建立了圓柱正弦活齒傳動(dòng)的齒廓方程，然后對(duì)其進(jìn)行受力分析和活齒傳動(dòng)共扼齒廓間滑動(dòng)率變化規(guī)律的研究，從而建立了完整的圓柱正弦活齒傳動(dòng)的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)理論和空間嚙合理論，為該傳動(dòng)的強(qiáng)度設(shè)計(jì)和優(yōu)化設(shè)計(jì)奠定理論基礎(chǔ)。
2.2圓柱正弦活齒傳動(dòng)的結(jié)構(gòu)分析
2.2.1結(jié)構(gòu)組成及傳動(dòng)原理
圖2-1所示為圓柱正弦活齒傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖，圓柱正弦活齒傳動(dòng)由主動(dòng)軸、殼體、導(dǎo)架及活齒這四個(gè)部分組成。殼體的內(nèi)圓柱表面上有周期數(shù)為Z3的內(nèi)正弦滾道，軸承7、8、9、10支撐導(dǎo)架，導(dǎo)架圓周面上均勻分布著軸向活齒槽。軸承7、9支撐主動(dòng)軸，其外圓柱面上有周期數(shù)為Z1的外正弦滾道，在內(nèi)滾道、外滾道及導(dǎo)架活齒槽的交錯(cuò)區(qū)域內(nèi)安裝有球形活齒。
圓柱正弦活齒傳動(dòng)是空間傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，其空間正弦滾道具有周期性，將該傳動(dòng)沿圓柱直母線方向展開，則機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)將轉(zhuǎn)化為如圖2-2所示的平面運(yùn)動(dòng)。由此，它的自由度計(jì)算可利用平面自由度公式進(jìn)行計(jì)算，主動(dòng)軸、導(dǎo)架及殼體相對(duì)于固定機(jī)架各有一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副，活齒與這三個(gè)構(gòu)件間形成三個(gè)高副，活齒本身存在一個(gè)局部自由度F′，則圓柱正弦活齒傳動(dòng)的自由度F為F=3n-2PL-PH-F′=3×4-2×3-3-1-2。由此可見(jiàn)，這是一個(gè)差動(dòng)機(jī)構(gòu)，給定兩個(gè)原動(dòng)件，傳動(dòng)機(jī)構(gòu)才會(huì)有確定的運(yùn)動(dòng)。當(dāng)固定殼體、導(dǎo)架及主動(dòng)軸之一時(shí)，傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的自由度為1。在圖2-2中各部件的含義同圖2-1，若殼體固定，主動(dòng)軸為動(dòng)力輸入軸，當(dāng)主動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，主動(dòng)軸上的外正弦滾道推動(dòng)活齒運(yùn)動(dòng)，在主動(dòng)軸外正弦滾道及殼體內(nèi)正弦滾道的共同約束限制下，活齒繞公共軸線的圓周方向作等速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)推動(dòng)導(dǎo)架的活齒槽，由導(dǎo)架輸出動(dòng)力。
2.2.2圓柱正弦活齒傳動(dòng)的連續(xù)傳動(dòng)條件
為保證圓柱正弦活齒傳動(dòng)能夠正常的工作，必須滿足其連續(xù)傳動(dòng)條件。根據(jù)活齒傳動(dòng)連續(xù)傳動(dòng)的定義，圓柱正弦活齒傳動(dòng)連續(xù)傳動(dòng)條件可表示為“在活齒傳動(dòng)嚙合區(qū)中每一瞬時(shí)至少有一個(gè)活齒處于嚙合狀態(tài)，并保證單個(gè)活齒與正弦滾道齒面能夠連續(xù)接觸嚙合傳動(dòng)”。
圓柱正弦活齒傳動(dòng)在工作過(guò)程中，幾乎每個(gè)活齒都同時(shí)參與嚙合，活齒安裝在主動(dòng)軸與殼體正弦滾道的交叉點(diǎn)處，活齒的安裝位置限制了活齒的數(shù)目n。將空間正弦曲線沿圓柱直母線方向展成平面正弦曲線，如圖2-3所示，其中1線為主動(dòng)軸正弦滾道曲線，3線為殼體正弦滾道曲線。設(shè)正弦曲線切線的斜率有正負(fù)之分，則兩條正弦曲線相交，交點(diǎn)可以分為兩類：一類交點(diǎn)指在交點(diǎn)處兩正弦曲線的切線斜率同號(hào)（如圖中黑點(diǎn)所示）；二類交點(diǎn)指在交點(diǎn)處兩正弦曲線的切線斜率異號(hào)（如圖中白圈所示）。若要求圓柱正弦活齒傳動(dòng)的輸入輸出為同向傳動(dòng)時(shí)，活齒應(yīng)安放在二類交點(diǎn)處，此時(shí)活齒的個(gè)數(shù)為n=Z1+Z3；若輸入、輸出為反向傳動(dòng)時(shí)，活齒應(yīng)安放在一類交點(diǎn)處，此時(shí)活齒的個(gè)數(shù)為n=|Z1-Z3|。并保證，n≥3。
由于主動(dòng)軸、殼體正弦滾道齒面是由活齒齒面包絡(luò)而成，則正弦滾道齒形受活齒半徑r、活齒中心圓周方向旋轉(zhuǎn)半徑R、正弦滾道周期數(shù)Zi（i=l、3）、正弦幅值A(chǔ)、滾道深度b1、b3等參數(shù)的影響，這些參數(shù)應(yīng)該滿足一定的關(guān)系，使正弦滾道理論齒廓曲線不發(fā)生頂切，以保證活齒傳動(dòng)正確的運(yùn)動(dòng)條件。
以殼體的正弦滾道為例，將殼體的內(nèi)圓柱面沿圓柱直母線方向展開后如圖2-4所示。當(dāng)殼體內(nèi)圓柱面上正弦軌跡曲線L的最小曲率半徑ρmin大于活齒嚙合部分小圓半徑ra時(shí)，殼體正弦滾道的理論齒廓曲線是連續(xù)的（圖2-4a）；當(dāng)ρmin＜ra時(shí)，理論齒廓曲線發(fā)生頂切（圖2-4b）。殼體內(nèi)圓柱上正弦軌跡曲線L的方程可表達(dá)為：
式中 r3——?dú)んw內(nèi)圓柱面半徑r3=R+rsin（αn3），（mm）；
R——活齒中心圓周方向旋轉(zhuǎn)半徑（mm）；
r——活齒半徑（mm）；
φ——活齒中心在圓周方向位置角（rad）；
αn3——活齒與殼體的接觸角（rad）；
A——正弦幅值（mm）；
Z3——?dú)んw正弦滾道周期數(shù)。
根據(jù)微分幾何中對(duì)曲率k的定義，曲率半徑ρ為
將式（2-1）代入式（2-2）中，求解得最小曲率半徑為
必須滿足ρmin≥ra，才能保證殼體正弦滾道理論齒廓曲線不發(fā)頂切。根據(jù)活齒中的幾何關(guān)系有
，即應(yīng)滿足
式中b3——?dú)んw正弦滾厚深度（mm）。
同理得到主動(dòng)軸正弦滾道理齒廓曲線不頂切的條件為：
式中r1——主動(dòng)軸外圓柱面半徑（mm）；
Z1——主動(dòng)軸正弦滾道周期數(shù)；
b1——主動(dòng)軸正弦滾道深度（mm）。
2.2.3傳動(dòng)比的計(jì)算公式
由于轉(zhuǎn)動(dòng)件的角速度ω與轉(zhuǎn)角φ之間的關(guān)系為ω=dφ/dt，因此圓柱正弦活齒傳動(dòng)任意兩轉(zhuǎn)動(dòng)件的傳動(dòng)比，可表示為兩轉(zhuǎn)動(dòng)件的轉(zhuǎn)角比。圓柱正弦活齒傳動(dòng)中，將正弦曲線沿圓柱直母線方向展開，活齒中心沿主動(dòng)軸外正弦滾道運(yùn)動(dòng)的軌跡方程為S1=Asin（Z1φ），沿殼體的內(nèi)正弦滾道運(yùn)動(dòng)的軌跡方程為s3=Asin（Z3φ）。當(dāng)主動(dòng)軸微轉(zhuǎn)角△φ1后，導(dǎo)架的轉(zhuǎn)角為△φ2，根據(jù)活齒始終在兩條正弦滾道的交叉點(diǎn)處的條件，可以推導(dǎo)出傳動(dòng)比計(jì)算公式。若輸入輸出為同向傳動(dòng)時(shí)，則傳動(dòng)比計(jì)算公式為
若輸入輸出為反向傳動(dòng)時(shí)，傳動(dòng)比的計(jì)算公式為
圓柱正弦活齒減速器具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、徑向尺寸小等優(yōu)點(diǎn)，其傳動(dòng)比理論上說(shuō)可以達(dá)到任意值，但是要受到徑向尺寸、正弦幅值、活齒半徑等參數(shù)的制約，如果需要大的傳動(dòng)比，可以采用多級(jí)傳動(dòng)。
2.3齒廓方程的建立
圓柱正弦活齒傳動(dòng)中的正弦滾道是由活齒中心沿空間正弦軌跡曲線運(yùn)動(dòng)包絡(luò)而成的。為便于該傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的加工制造和進(jìn)一步理論分析的研究，有必要建立正弦滾道的齒面方程。
2.3.1坐標(biāo)系的建立
設(shè)
分別為與主動(dòng)軸、導(dǎo)架、殼體及活齒固聯(lián)的坐標(biāo)系，其坐標(biāo)關(guān)系如圖2-5、圖2-6所示。σ1、σ2、σ3的公共坐標(biāo)原點(diǎn)為O，所有活齒分布在半徑為R的圓柱面上，主動(dòng)軸齒面∑1、導(dǎo)架齒面∑2、殼體齒面∑3是由活齒齒面∑4包絡(luò)而成。殼體固定不動(dòng)，σ3即為固定坐標(biāo)系，φ為主動(dòng)軸坐標(biāo)系到固定坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)角，取導(dǎo)架坐標(biāo)系為參考坐標(biāo)系，φ1、φ3分別為主動(dòng)軸、殼體的坐標(biāo)系到參考坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)角。根據(jù)圓柱正弦活齒傳動(dòng)的傳動(dòng)比公式可知：
2.3.2嚙合方程
現(xiàn)以主動(dòng)軸與活齒的嚙合為例建立圓柱正弦活齒傳動(dòng)的嚙合方程和齒面方程。根據(jù)空間嚙合理論，兩共扼齒面∑1、∑的嚙合方程和嚙合函數(shù)依次為：
為建立該傳動(dòng)的嚙合方程，使在不同坐標(biāo)系中的各個(gè)矢量進(jìn)行計(jì)算，需將所有矢量轉(zhuǎn)換到統(tǒng)一的坐標(biāo)系中，為方便求解，將所有矢量均轉(zhuǎn)換到導(dǎo)架的坐標(biāo)系σ2中。
圓柱正弦活齒傳動(dòng)中的活齒為規(guī)則球體，則其齒面方程即為球面方程，活齒坐標(biāo)系如圖2-6 所示，活齒齒面方程用球面坐標(biāo)表達(dá)為：
式中 u、v——球面上參數(shù)（rad）；
r——球面半徑（mm）。
根據(jù)微分幾何求得球面各點(diǎn)的幺法矢為
將式（2-10）代入式（2-11）中，經(jīng)坐標(biāo)變換整理得到：
主動(dòng)軸與活齒嚙合點(diǎn)處的相對(duì)速度為
式中
——導(dǎo)架坐標(biāo)系中σ4與σ1坐標(biāo)原點(diǎn)連線的矢量，由圖2-6可知：
ω——主動(dòng)軸旋轉(zhuǎn)的絕對(duì)角速度（rad/s）；
R——活齒中心圓周方向旋轉(zhuǎn)半徑（mm）；
C——活齒中心軸向位移C=Asin（Z1·φ1），（mm）；
A——正弦曲線的幅值（mm）。
2.3.3正弦滾道齒面方程的建立
將活齒齒面方程（2-8）的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到σ1上，并與嚙合方程（2-16）聯(lián)立，即可得到主動(dòng)軸齒面∑1的方程，即
式中M21——σ2到σ1的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣。
主動(dòng)軸齒面Σ1方程寫成分量形式為：
同理得到殼體齒面Σ3的方程為：
當(dāng)φ1、φ3為定值時(shí)，以上兩個(gè)齒面方程成為接觸線方程，該傳動(dòng)的接觸線為活齒大圓的一部分。在實(shí)際加工中，考慮到加工精度及接觸條件的影響，滾道半徑r′常稍大于活齒半徑r，通常情況取r′=（l.04～1.11)r,即實(shí)際工作中圓柱正弦活齒傳動(dòng)為空間點(diǎn)接觸嚙合傳動(dòng)。目前，國(guó)內(nèi)外常見(jiàn)的滾道型面分為單圓弧滾道和雙圓弧滾道兩種。若采用單圓弧滾道，則主動(dòng)軸和殼體正弦滾道實(shí)際的齒廓方程分別變?yōu)椋?/p>
式中 R1——主動(dòng)軸滾道空間正弦曲線徑向半徑（mm）；
R3——?dú)んw滾道空間正弦曲線徑向半徑（mm）。
若采用雙圓弧滾道，則該雙圓弧正弦滾道的齒廓方程為（主動(dòng)軸為例）：左齒面齒廓方程：
式中 r′——滾道半徑（mm）；
△r——滾道半徑與活齒半徑之差（mm）；
β——接觸角（rad）。
右齒面齒廓方程同左齒面方程，其中接觸角β取負(fù)值。
2.3.4齒面仿真
采用Matlab工程軟件對(duì)圓柱正弦活齒傳動(dòng)進(jìn)行齒面仿真的研究。為仿真出三維曲面，在接觸線上劃分100個(gè)單元，在齒面圓周方向劃分1001個(gè)單元，由此將齒廓曲而劃分為100×1001的網(wǎng)格。根據(jù)數(shù)學(xué)模型計(jì)算出各個(gè)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)值，得到齒廓曲面的網(wǎng)格圖，然后采用二維線性插值的方法，得到整個(gè)齒廓的曲面仿真及齒面嚙合偏真如圖2-7～圖2-9所示。
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