為得到（4-2）式的頻閃方程，首先由（4-20）求導得：
將（4-20）式代入（4-19）式，并將A1，ф1在
，θ0鄰域內(nèi)展開為ε的冪級數(shù)得：
比較（4-31）式與（4-30），由ε的同次冪系數(shù)相等得：
由此可解得θ0=θ0（，
，t），反函數(shù)t=t（，，θ0），將此式以及（4-20）代入（4-26）～（4-28）式，令等號兩端在，θ0鄰域內(nèi)展開為ε的冪級數(shù)并令不含ε的項相等得：
設(shè)頻閃時間間隔為T=nT0，其中T0為x0=cosθ0+b（）的周期，n為正整數(shù)。于是有θ0（，，T）-θ0（，，0）=0。據(jù)此，由（4-20）和（4-34）并略去ε二次以上微量得：
令△τ=εT，則上式化為：
這就是對應于（4-2）式的頻閃差分方程，即（4-2）式在Poicare平面上以T為周期的點變換方程。如ε充分小，則可令△τ=dτ，△r=dr，△θ=dθ，此外，（4-36）中的，雖為初始值但卻可以是平面上任一點（r，θ）于上（4-36）可寫成：
此式就是對應于（4-2）的頻閃方程。如果（4-37）存在—穩(wěn)定—次奇點（r*，θ*），則在此奇點ε鄰域內(nèi)必存在一點（
，
），使（4-2）以此點為初始的解為穩(wěn)定周期解，周期為T，其一次近似表達式為：
在非線性振動系統(tǒng)中，為了求出系統(tǒng)的各次諧共振解，必須考慮（4-15）中各次諧波的影響，為此對以上方法作如下改進：
由（4-15）式可知，-dθ0/dt應為實數(shù)，因此，可以證明（4-15）中的
的絕對值小于1。于是可將（4-15）式中的根號部分展開成收斂冪級數(shù)。為了將冪級數(shù)形式的dθ0/dt引入（4-33）、（4-34）各式進行計算，須對（4-33）中的積分項
進行變換。利用（4-18）式，得變換如下：
為求（4-2）的各次諧共振，令ω=（m/n）p，其中m，n，為互質(zhì)整數(shù)。于是有：
在非線性振動系統(tǒng)中，當系統(tǒng)受到周期性外力作用的情況下，有可能產(chǎn)生三類運動，非共振運動，共振運動，由非共振運動到共振運動的過渡過程，即瞬態(tài)運動。對于共振運動來說，有三類，(l)m=n，即ω=p，這是通常所說的共振，稱為主共振，(2)n=1，ω=mp，產(chǎn)生泛音共振，當m為奇數(shù)時，產(chǎn)生次諧波共振，(3）m=1，ω=p／n，當n為奇數(shù)時，產(chǎn)生超諧波共振。將冪級數(shù)形式的dθ0／dt代人（4-40)，并計算該式在O～2π區(qū)間的定積分，可以得出結(jié)論：只有當n=1，m=±1，±3，±5，±7，……時才可能得到（4-2）的周期解，并且（4-2）式只可能產(chǎn)生主共振解和次諧波共振解。
由前面推導可知，系統(tǒng)（4-2）有周期解時，第一個頻閃方程dr/dτ=A1（r，0）=0，于是由（4-33）第一式和（4-40）式，再令n=1，m=1，3，5，7可求得（4-2）系統(tǒng)存在主共振解，1/3次諧波共振解，1/5及1/7次諧波共振解時，μ與δ，應滿足的關(guān)系式為：
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