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5.5.3  離散方程的求解

在計(jì)算出無(wú)粘通量和粘性通量后，代入（5-14）式可得到半離散的差分方程：

方程（5-24）可以采用顯式或隱式的方法進(jìn)行求解。但是由于受時(shí)間步長(zhǎng)的限制，采用顯式的R-K時(shí)間推進(jìn)方法需要迭代的步數(shù)較多，計(jì)算很不經(jīng)濟(jì)，因此本文采用了Gauss-Seidel迭代隱式求解的方法。

式（5-24）在時(shí)間方向采用Euler后向差分，有

對(duì)方程（5-25),采用Gauss-Seidel點(diǎn)迭代法隱式求解。

5.5.4  邊界條件

在邊界處理方面，采用傳統(tǒng)的邊界處理方法。

1.計(jì)算域的入口采用入流條件，亞聲速時(shí)給定總壓、總溫和速度的方向，其他參數(shù)值由內(nèi)點(diǎn)外推；超聲速時(shí)給定邊界上的所有參數(shù)值。

2.計(jì)算域的出口采用出流條件，亞聲速的時(shí)候在出口截面上給定環(huán)境壓力，其他參數(shù)值由內(nèi)點(diǎn)外推，超聲速出流邊界不提任何條件；

3.對(duì)稱(chēng)軸處采用軸對(duì)稱(chēng)條件，對(duì)稱(chēng)軸上法向速度為O，其他參數(shù)值一階偏導(dǎo)為O；

4.固壁采用無(wú)滑移固壁條件，u=v=w=O；

5.人工邊界用無(wú)反射邊界條件。

其中無(wú)反射邊界條件是根據(jù)特征線的方法來(lái)求出邊界上的參數(shù)值。根據(jù)一維完全氣體無(wú)粘非定常運(yùn)動(dòng)的方程組，在亞聲速的條件下由邊界上的入射波和出射波關(guān)系可以得到兩個(gè)Riemann不變量：

其中V_n為沿邊界法向的速度分量，c為當(dāng)?shù)芈曀�，下�?biāo)∞表示無(wú)窮遠(yuǎn)處的參數(shù)值，下標(biāo)i表示計(jì)算域內(nèi)緊鄰邊界的點(diǎn)的參數(shù)值。

無(wú)窮遠(yuǎn)處的參數(shù)值為已知，計(jì)算域內(nèi)的參數(shù)值可以通過(guò)內(nèi)點(diǎn)的計(jì)算得出，因此我們可以得到邊界上的沿邊界法向方向的速度分量和當(dāng)?shù)氐穆曀僦担?/p>

邊界上的沿邊界切向方向的速度分量和熵的值可以通過(guò)內(nèi)點(diǎn)外推得到。

5.6  結(jié)果分析

圖5-2是第二章穩(wěn)態(tài)裂紋擴(kuò)展計(jì)算得到的管道壁道面在某一瞬時(shí)的變形狀態(tài)。

圖5-3是以圖5-2為依據(jù)建立的流場(chǎng)計(jì)算網(wǎng)格。設(shè)計(jì)參數(shù)為：裂紋擴(kuò)展速度200m/s，管道外徑1016mm，壁厚14.7mm，內(nèi)壓10MPa。

外部流場(chǎng)區(qū)域選取范圍為3m×5m。輸送介質(zhì)選用天然氣的主要成分甲烷，初始外流場(chǎng)設(shè)定為空氣。遠(yuǎn)場(chǎng)壓力定義為大氣壓。在底部和側(cè)面應(yīng)用對(duì)稱(chēng)邊界條件。計(jì)算段管道全長(zhǎng)為35m，裂尖位于距軸向?qū)ΨQ(chēng)面18.88m處。管壁的擴(kuò)張速度按照第二章的計(jì)算結(jié)果作為流場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)壁面邊界條件。

計(jì)算的結(jié)果揭示了一些重要的現(xiàn)象。

圖5-4給出了XZ對(duì)稱(chēng)面上的馬赫數(shù)分布。管道中的流動(dòng)在裂尖出口處達(dá)到超聲速，而在對(duì)稱(chēng)面附近發(fā)生了強(qiáng)烈的回流。標(biāo)示為B的位置壓力和密度發(fā)生了強(qiáng)間斷，意味著出現(xiàn)了激波。

為了進(jìn)一步觀察XY截面上的速度，圖5-5繪出了圖5-4中標(biāo)示的A-A截面的速度分布。

矢量箭頭表示的是X-Y面內(nèi)速度分量的方向，等值線表示三維流動(dòng)區(qū)域中的速率大小。從圖上可以看出外部流場(chǎng)的速度分布沿Y方向從中心到兩側(cè)速度迅速降低。在距管道中心五倍遠(yuǎn)的外流場(chǎng)，氣流速度仍可達(dá)到671m/s。

圖5-5右側(cè)的放大截面上標(biāo)出了A至E的五個(gè)點(diǎn)。保持各點(diǎn)的X坐標(biāo)不變，變化Z坐標(biāo)，可在管壁上分別劃出對(duì)應(yīng)于截面上不同位置的軸線。

由于管道內(nèi)壁處的氣體靜壓等于該處管道承受的壓力，圖5-6和圖5-7中A-E各點(diǎn)沿Z向的氣體靜壓變化反映了管道承受壓力的軸向衰減規(guī)律。兩圖中的初始內(nèi)壓分別為10MPa和8MPa。

與線性衰減模式（2-47）（某估算結(jié)果在圖5-6中用點(diǎn)劃線標(biāo)出）相比，計(jì)算得到的靜壓衰減結(jié)果揭示了幾個(gè)重要問(wèn)題。

其一是回流區(qū)的發(fā)現(xiàn)。在軸向兩側(cè)擴(kuò)展裂紋的對(duì)稱(chēng)面附近發(fā)現(xiàn)了強(qiáng)烈的回流，這在裂紋擴(kuò)展初期將導(dǎo)致管壁的裂紋后端的抖動(dòng)，從而對(duì)裂紋驅(qū)動(dòng)力起到重要影響。隨著裂尖位置的不斷前移，回流區(qū)的壓力將逐漸衰減到大氣壓值。

其二是回流區(qū)的位置。計(jì)算表明，回流區(qū)寬度隨管道工作壓力的升高而增長(zhǎng)，隨裂尖位置的前移而減小。

其三是衰減區(qū)的壓力變化。氣流通過(guò)裂紋尖端時(shí)，管壁上作用的氣體壓力沿軸向迅速衰減，經(jīng)驗(yàn)公式（2-47）中所用的衰減長(zhǎng)度一般取為1.5倍管道直徑，最終衰減到零。計(jì)算表明衰減長(zhǎng)度隨管道工作壓力的升高而增加，并且衰減區(qū)壓力的最低值與管道的工作壓力相關(guān)。由于對(duì)裂紋的擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)影響甚微，裂尖前部的壓力不是關(guān)心的對(duì)象。

此外，本文計(jì)算與公式（2-46）基本相符，這和全尺寸爆裂實(shí)驗(yàn)得到的結(jié)果是一致的。在（2-46）的基礎(chǔ)上，本文提出以下的修正壓力衰減模式以替代（2-47）進(jìn)行計(jì)算：

通過(guò)多種工況驗(yàn)證，該模式與計(jì)算結(jié)果吻合良好。

另外，通過(guò)和意大利CSM的實(shí)測(cè)管理壓力曲線圖5-8相比較，證明圖5-6和圖5-7從趨勢(shì)上是成立的。

5.7  本章小結(jié)

本章以有限體積法為基礎(chǔ)，對(duì)非定�？蓧嚎s的Navier-Stokes方程進(jìn)行了離散和求解。網(wǎng)格的劃分采用非結(jié)構(gòu)性網(wǎng)格，無(wú)粘通量采用Roe矢通量分裂，差分格式為二階精度，時(shí)間離散采用Guass-Seidel隱式迭代，在人工邊界上采用基于特征線法的無(wú)反射邊界條件。

對(duì)含動(dòng)態(tài)裂紋的高壓輸氣管道的流場(chǎng)模擬結(jié)果表明，氣體壓力模式（2-46）和(2-47）式在裂紋充分發(fā)展至不考慮回流區(qū)影響的條件下，對(duì)高壓高韌性管道仍然成立

回流區(qū)的發(fā)現(xiàn)對(duì)裂紋開(kāi)始擴(kuò)展不久的一段時(shí)間內(nèi)的裂紋驅(qū)動(dòng)力起重要影響，對(duì)于判定止裂點(diǎn)的位置有著重要的工程意義。（5-29）和（5-30）式可直接應(yīng)用于有限元程序以提高裂紋擴(kuò)展與止裂的模擬精度。

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